期中考试题，大一微积分，第五题，有没有哪位大神帮个忙给我写个正确答案啊？

Question

如题所述

Answer 1

大概如此

Answer 2

为了计算给定区域 D 上的二重积分 ∫∫_D (x^2 + y^2 - x) dA，我们首先需要确定区域 D 的边界。根据题目描述，D 由直线 y = 2, y = x 和 y = 2x 围成。

首先找到这三条直线的交点，以确定区域 D 的顶点。我们可以分别求解 y = x 和 y = 2x 与 y = 2 的交点：

y = x 与 y = 2 的交点：
x = 2
y = 2
交点为 (2, 2)

y = 2x 与 y = 2 的交点：
2 = 2x
x = 1
y = 2
交点为 (1, 2)

接下来，求解 y = x 和 y = 2x 的交点：

y = x 与 y = 2x 的交点：
x = 2x
x = 0
y = 0
交点为 (0, 0)

现在我们已经找到了区域 D 的三个顶点：(0, 0)，(1, 2) 和 (2, 2)。

接下来，我们需要将二重积分转换为迭代积分。由于直线 y = x 和 y = 2x 构成区域 D 的边界，我们可以先积分关于 y，然后积分关于 x。考虑到区域 D 的形状，我们可以将积分区间表示如下：

x 的积分区间为 [0, 2]，而 y 的积分区间为 [x, 2x]（y = x 到 y = 2x）。

于是我们可以将二重积分表示为以下形式：

∫∫_D (x^2 + y^2 - x) dA = ∫(from 0 to 2) ∫(from x to 2x) (x^2 + y^2 - x) dy dx

现在，我们可以先对 y 进行积分：

∫(from x to 2x) (x^2 + y^2 - x) dy = x^2y - xy + (y^3)/3 |(from x to 2x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x^3/3 = (11x^3)/3 - 4x^2

然后，对 x 进行积分：

∫(from 0 to 2) ((11x^3)/3 - 4x^2) dx = (11x^4)/12 - (4x^3)/3 |(from 0 to 2) = (11 * 16)/12 - (32/3) = 22/3

因此，二重积分 ∫∫_D (x^2 + y^2 - x) dA 的值为 22/3。