首先我会建议你去看朗文当代英语词典的解释，如果看不懂全英的就去看
牛津现代双解词典这个是中英的很详细，我的回答也是基于这两本词典的解释的总结。
vitality: great
energy and eagerness to do things或the strength and ability of an organization, country etc to continue
也就是说1.做某事的活力，比如有活力（力气+意愿）去运动；2.组织或者国家的生存能力，比如说市场竞争力，科研能力等等。
vigor: physical or mental energy and determination
主要是身体上或精神上的能量，比如有精力去工作，去做
极限运动energy：这个词含义很多，我在此只列举the physical and mental strength that makes you able to do things
也是指身体上和精神上的能量，让你有力气去做事情
vim: old-fashioned energy
也就是说这个是古语，一般出现在古代的表达中较多，现代较少用。和energy一个意思。
最后再次强烈建议你去看英文解释，因为很多英语含义汉语没有特别贴切的词语，还有一个就是去看词典给的例句去领会