利用极坐标计算二重积分中Δσi的推导过程没看懂

Question

具体的就是不知道½是什么意义，（ρi+Δρ）²是什么含义？
已经解决了，扇形面积的计算是πR²×θ/2π

Answer 1

新年好！春节愉快！
Happy Chinese New Year ！

楼主的问题应该这样分析：

我们用两种方法，将整个XY平面格式化，
也就是将整个平面分割成无穷多个微元面积。

第一种方法：直角坐标系划分法(Rectangular coordinates)
这种划分的特色是，整个平面上有有无数个矩形微元，底宽Δx，高Δy，
微元面积 = Δσ = Δx×Δy。

第二种方法：极坐标划分法(Polar coordinates)
这种划分的特色是，整个平面上有有无数个同心圆环ring，
每个圆环上又分成无数个弧段arc，每段arc的宽度是Δρ，ρ是半径。
每段弧长 = Δs = ρ×Δθ，（dθ是弧所对应圆心角 central angle）
每个弧段的面积 = Δσ = ρ×Δθ×Δρ （这里是把弧段看成长方形）

楼主的讲义上是故弄玄虚，本来能用上面一步到位的方法得到结果，
偏偏舍近求远，用的是一个大的扇形面积减掉小的扇形面积的方法。

大的扇形面积 A = ½（ρ + Δρ )² ×Δθ

小的扇形面积 B = ½ ρ² ×Δθ

A - B = ½（ρ + Δρ )² ×Δθ - ½ ρ² ×Δθ ≈ ρ×Δθ×Δρ
[ 已经舍去了去了高阶无穷小 ½ (Δρ)²×(Δθ) ]

从楼主的讲义，可以看得出来，讲义编写者、使用者，都是喜欢夸大其词、
故弄玄虚之徒。微积分本来就难学，遇到喜欢咋咋唬唬的不良教师的极度
夸张，人为的障碍处处可见，比比皆是。

加油吧！努力欣赏教师的真智慧，也努力识别教师的假大空。