已知抛物线 （ 且 为常数）， 为其焦点． （1）写出焦点 的坐标；（2）过点 的直线与抛物线相交于

Question

已知抛物线 （ 且 为常数）， 为其焦点． （1）写出焦点 的坐标；（2）过点 的直线与抛物线相交于 两点，且 ，求直线 的斜率；（3）若线段 是过抛物线焦点 的两条动弦，且满足 ，如图所示．求四边形 面积的最小值 ．

Answer 1

（1）（a，0）；（2） ； (3) ．

试题分析：（1）∵抛物线方程为 （a＞0），∴焦点为F（a，0）． （2）设满足题意的点为P（x 0 ，y 0 ）、Q（x 1 ，y 1 ）． ∵ ， ∴(a-x 0 ，-y 0 )=2(x 1 -a，y 1 )，即 ． 又y 1 2 =4ax 1 ，y 0 2 =4ax 0 ， ∴ ，进而可得x 0 =2a， ，即y 0 =±2 a． ∴ ． (3) 由题意可知，直线AC不平行于x轴、y轴（否则，直线AC、BD与抛物线不会有四个交点）。 于是，设直线AC的斜率为 ．    12分 联立方程组 ，化简得 (设点 ),则 是此方程的两个根． ．                           13分 弦长 ＝ ＝ ＝ ．                   15分 又 , ． ． 16分 ＝ ,当且仅当 时，四边形 面积的最小值 ．18分 点评：中档题，涉及曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，消元后，应用韦达定理，简化运算过程。本题（2）通过应用平面向量共线的条件，利用“代入法”，得到 的关系，进一步求得直线的斜率。（3）利用函数的观点及均值定理，确定得到面积的最小值。应用均值定理要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。