泰勒级数和泰勒展开式有什么区别？公式一模一样啊。。。。

Question

如题所述

Answer 1

一个k次可导的函数都可以有k阶泰勒展开式（我只说带佩亚诺余项的）；
但是一个只是k次可导的函数就一定没有泰勒级数了。（比如说，y=sinx+x*|x|，它可以有1阶的泰勒展开y=x+o(x)）
即使是无穷可微的函数也不一定能在恰好某一点处展成泰勒级数。比如柯西的反例：
f(x)=exp(-x^(-2)).
f无穷次可微，在x=0处所有阶导数都为0。f的任意阶泰勒展开都是0多项式。然而f在0点不能写成泰勒级数。因为这个级数和恒等于0，不是原来的f(x)。

Answer 2

任何函数都有泰勒展式，但不一定能展成泰勒级数。注意上面说了“如果函数f(x)有幂级数展开式（1）。。。。”，有的函数并没有。泰勒展开公式的余项是抽象的，就是说泰勒展开公式是一种拟合。当泰勒余项能用省略号表示的时候（即泰勒余项和无穷级数的后面的无穷多项相等），函数可以展成泰勒级数，具体就是泰勒余项在n->∞的时候趋近于0时函数展成泰勒级数。