双轴应力状态分析

Question

如题所述

Answer 1

(一)双轴应力状态的数学分析

在双轴应力状态下，任意截面上的正应力(σ_θ)和剪应力(τ_θ)与主应力σ₁和σ₃之间的关系可通过叠加法求得。

在受力岩体内一点周围取一微分单元体，主应力σ₁和σ₃分别作用在该单元体上一对互相垂直的面上。截面AB外法线与σ₁轴夹角为θ，与σ₃轴夹角为90°+θ(图3-7)。

图3-7 双轴应力状态的应力分析示意图

首先分别求出σ₁和σ₃单独作用时AB面上的正应力σ_θ1、σ_θ3和剪应力τ_θ1、τ_θ3与σ₁和σ₃的关系，然后将两项叠加，即：

σ_θ=σ_θ1+σ_θ3 (3-8)

τ_θ=τ_θ1+τ_θ3 (3-9)

当σ₁单独作用时，AB面上作用有正应力σ_θ1和剪应力τ_θ1(图3-7B)，该面外法线与σ₁轴夹角为θ。根据式(3-5)和式(3-6)得：

构造地质学(第二版)

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当σ₃单独作用时，AB面上作用有正应力σ_θ3和剪应力τ_θ3，该面外法线与σ₃轴夹角为90°+θ。

根据公式(3-5)和(3-6)得：

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将σ₁和σ₃单独作用结果相叠加得：

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式(3-14)和式(3-15)表示双轴应力状态下外法线与σ₁轴成θ角的截面上正应力σ_θ和剪应力τ_θ与主应力σ₁和σ₃之间的关系。显然，在已知主应力σ₁和σ₃的情况下，可求得与σ₁轴成θ角的任意截面上正应力和剪应力。从式(3-14)和(3-15)中还可以得出如下结论。

(1)正应力的变化规律

令σ_θ的一阶导数为0，求σ_θ的极大值和极小值：

σ′_θ=-(σ₁-σ₃)sin2θ=0

解得： θ₁=0°，θ₂=90°

当θ=0°时，截面垂直σ₁轴，平行σ₃轴，σ_θ=σ₁，取极大值。

当θ=90°时，截面垂直σ₃轴，平行σ₁轴，σ_θ=σ₃，取极小值。

当θ取其他值时，截面与σ₁轴和σ₃轴斜交，σ_θ值介于σ₁～σ₃之间。

(2)剪应力的变化规律

令τ_θ一阶导数为0，求剪应力的极大值和极小值：

τ′_θ=(σ₁-σ₃)cos2θ=0

解得： θ₁=0°，θ₂=90°，θ₃=45°

当θ=0°时，sin2θ=0，τ_θ=0。

当θ=90°时，sin2θ=0，τ_θ=0。

当θ=45°时，sin2θ=1，τ_θ=

。

因此，在平行和垂直σ₁轴截面上，剪应力为0，在与σ₁和σ₃成45°角的截面上，剪应力最大，是主应力差的一半。最大剪应力作用面有两个，且互相垂直。σ₁轴和σ₃轴分别位于最大剪应力作用面的两个角平分线上。

(二)双轴应力状态的莫尔圆分析

1.双轴应力状态莫尔圆的画法

与单轴应力状态莫尔圆作法相同。首先建立以σ为横坐标，以τ为纵坐标的直角坐标系；然后按一定比例在横轴上截取OA=σ₁，OB=σ₃，得A、B两点；以

长为半径，以AB中点为圆心画圆，即得到双轴应力状态莫尔圆(图3-8)。该圆的方程为：

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图3-8 双轴应力状态莫尔圆

2.双轴应力状态莫尔圆的物理意义

过莫尔圆一点D(σ_θ，τ_θ)引半径CD，∠DCA=2θ，则D点的横坐标(σ_θ)和纵坐标(τ_θ)代表外法线与σ₁轴夹角为θ的截面上的正应力和剪应力。证明如下：

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∴σ_θ=OE=OC+CE=OC+CD·cos2θ

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又

∵τ_θ=DE

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这与式(3-14)和(3-15)相同，所以应力莫尔圆上的一个点代表单元体上的一个面，点的坐标(σ_θ，τ_θ)代表该面上的正应力和剪应力。

从双轴应力莫尔圆中可得出与双轴应力状态数学分析相同的结论：①在垂直σ₁轴(平行σ₃轴)的截面上(图3-8B中A点)，θ=0°，2θ=0°，正应力最大，等于σ₁，剪应力为0；②在垂直σ₃轴(平行σ₁轴)截面上(图3-8B中B点)，θ=90°，2θ=180°，正应力值最小，等于σ₃，剪应力为0；③在与σ₁轴(和σ₃轴)成45°角的截面上，θ=45°，2θ=90°，剪应力取最大值，τ_max=

。该面有两个，且互相垂直。此外，与单轴应力状态分析结论相似：在互相垂直的两个任意截面上正应力之和为一常量，等于主应力之和；互相垂直截面上剪应力大小相等，方向相反。