二维应力分析

Question

如题所述

Answer 1

二维应力分析只研究某二向应力的作用，不考虑第三向应力的作用，主要研究平行第三向的任意两个截面间的应力（包括剪应力和正应力）数量关系。无论是单轴应力状态、双轴应力状态，还是三轴应力状态，都可以进行二维应力分析，也可以进行三维应力分析。我们引用莫尔图解法来进行二维应力分析。

1.单轴应力状态的二维应力分析

设作用于物体上的外力为P₁，内力为p₁（图3-5A），那么，垂直于作用力的截面A₀上的主应力为：

构造地质学（第三版）

在与作用力（P₁）或内力（p₁）斜交的截面（A_α）上，设正应力为σ，剪应力为τ，其合应力σ_A为：

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图3-5 单轴应力状态

截面A_α与主平面A₀的交角为α，此角亦等于截面的法线与合应力σ_A或主应力σ₁方向相交的角度。该角度分正、负值：现规定从主应力轴顺时针方向到截面法线量出的为负值，逆时针方向量取的为正值。

在单轴应力状态下，主应力（σ₁）与正应力（σ）和剪应力（τ）的关系，可用下列公式表示：

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式（3-7）和（3-8）是在均匀微量弹性变形条件下，发生单向压缩情况时，正应力（σ）和剪应力（τ）与主应力（σ₁）的关系式。上述公式，也适用于拉伸情况，只是压应力在公式中为正号，张应力为负号。上述关系式表明如下特点：

（1）从式（3-7）中看出，当α=0°时，cos2α=1，则σ=σ₁；当α=0°～90°时，cos2α＜1，则σ＜σ₁。这就是说，在与拉伸或挤压力方向垂直的截面上正应力值最大。

（2）从式（3-8）中看出，当α=0°时，sin2α=0，则τ=0，即在与拉伸力或挤压力方向垂直的截面上无剪应力存在；当α=45°时，sin2α=1，则τ=

，当α＞45°或α＜45°时，sin2α＜1，则τ＜

，这就是说，在与拉伸或挤压方向成45°交角的截面上，剪应力值最大，这样的截面称为最大剪应力作用面。

（3）当α=90°时，根据式（3-7）和（3-8）计算，得出σ=0，τ=0，表明在平行于作用力的截面上，既无正应力，也无剪应力。

将式（3-7）和（3-8）两边平方并相加得出下列关系式：

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该关系式为一圆的方程式，代表一个以τ为纵坐标，σ为横坐标的直角坐标系，圆心在（

，0），半径为

的圆。该圆的圆周是无数个点的轨迹，这些点代表α取任意值的那些截面上的应力值。所以，这个圆表示物体中一点的二维应力状态，称为应力莫尔圆（图3-6B）。现规定σ轴自O点向右为正，代表压应力，向左为负，代表张应力。现在向右取OA=σ₁为直径，以坐标位置C（

，0）为圆心，OC=

为半径画出莫尔圆。设图3-6A任意截面NN的法线N_α与主压应力σ₁作用方向间的夹角为α，自图3-6B的CA起，逆时针方向取一圆心角为∠ACD=2α，则圆上的D点坐标OE和ED分别等于截面（NN）上的正应力（σ_α）和剪应力（τ_α）证明如下：

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图3-6 单轴应力状态的二维应力莫尔圆

（说明见正文）

从图3-6可知，当α逆时针方向从0°→90°时，这些截面上的应力，对应于上半圆上从A转到O的各点坐标位置；当α从90°→180°时，各截面上的应力，对应于下半圆上从O转到A的各点坐标位置。根据（3-7）和（3-8）两式概括的特点，在图3-6B莫尔圆图解中表现得更直观。当α=0°时，相当于莫尔圆图上的A点，则σ=σ₁，正应力值最大，τ=0；当α=90°，即平行于作用力的截面上，相当于莫尔圆上的O点，则σ=0，τ=0；当α=45°时，τ=

，相当于莫尔圆上的最高点，其剪应力值最大。

与NN截面垂直的MM截面的法线N_β与x轴或主应力轴的夹角为90°＋α（图3-6A），因此，在莫尔圆上对应于MM截面的点是D′，D′点的坐标OF和FD′分别等于σ_β和τ_β，半径CD′与σ轴夹角为2（90°＋α），而与CD相差180°，因此，DD′是莫尔圆的一个直径（图3-6B）。在NN和MM截面上，正应力与主应力有如下关系：

在图3-6B的△CD′F与△CDE中，CF=CE，OC=AC，OF=AE

故

σ_α＋σ_β=OE＋OF=OE＋AE=σ₁ （3-11）

式（3-11）表明任意两个互相垂直的截面上，正应力之和不变，即等于主应力值，与截面方向无关。

在图3-6B的△CD′F与△CDE中

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式（3-12）表明任意两个互相垂直的截面上，剪应力值大小相等，符号相反，称为剪应力互等定律。故剪应力是成对出现的。

2.双轴应力状态的二维应力分析

设一处于双轴应力状态的物体，受到相互垂直不为零的压力P₁、P₂的作用，且P₁＞P₂（图3-7A），试用莫尔圆作图法分析任意截面MN的应力状况。首先，设想该物体只受外力P₁作用时（图3-7B），则截面MN正应力（σ_α）和剪应力（τ_α），可根据（3-7）、（3-8）二式求得：

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图3-7 双轴应力状态图解

P₁、P₂—外力；p₁、p₂—内力；σ₁、σ₂—主应力；σ_A1、σ_A2—合应力；σ_α、σ_β—正应力；τ_α、τ_β—剪应力

其次，当该物体又受到外力P₂的作用时，外力与截面MN上的正应力σ_β，和剪应力τ_β也可按（3-7），（3-8）二式求得：

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在σ₁和σ₂的共同作用下，垂直于截面MN的正应力为：

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平行于截面MN上的剪应力之和为：

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将式（3-17）和（3-18）两边平方后相加得：

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式（3-19）是一个圆的方程式，它代表圆心在σ₁＋σ₂2，0，半径为σ₁-σ₂2的一个圆。该圆代表上述应力状态的二维应力圆（图3-8B），σ轴上按比例取OA=σ₁，OB=σ₂，以AB为直径，以C为圆心作圆。设单元体某一截面的法线与主应力σ₁的夹角为α，在莫尔圆上从CA起以逆时针方向取一圆心角∠ACD=2α，圆上D点的坐标OE和DE分别等于截面MN上的正应力σ和剪应力τ。证明如下：

图3-8 双轴应力状态的二维应力莫尔圆

（说明见正文）

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根据上述证明及应力莫尔圆图解可知，在双轴应力状态下，物体内任一点其包含σ₃的任意截面上的正应力和剪应力值与两个互相垂直的主应力的大小和性质有关，也与该截面与主平面的交角有关。此外，还可以看出：

（1）当α=0°时，截面上σ=σ₁，τ=0；在α=90°的截面上，σ=σ₂，τ=0。从图3-8B上可以看出A点是最大正应力σ₁，B点是最小正应力σ₂，此两点均无剪应力。其他各点所代表的截面上，既有正应力，又有剪应力，其值与σ₁、σ₂的大小及截面与σ₁、σ₂的交角有关，但均在σ₁与σ₂之间。

（2）最大剪应力是在与主应力成45°和135°的截面上，也就是平分两个主应力方向的两个截面上，其大小等于

，即是主应力差的一半。

总之，如果已知变形物体的两个相互垂直截面上的应力大小，就可以作出其应力莫尔圆，从而确定这一点的应力状态。同样，如果已知一点的两个方向主应力的大小和方向，也可将这一点的应力状态确定。

前面着重讨论了单轴应力状态和双轴应力状态的二维应力分析。明斯（M.D.Means，1976）将物体内的一点的二维应力状态概括为8种类型。

静水拉伸 指单元体内所有平面上的应力都是张应力，并且都相等，没有剪应力存在（图3-9A）。

一般拉伸 两个主应力都是张应力（图3-9B）。这种应力状态在地壳浅部都是可能的。

图3-9 代表各种应力状态的二维应力莫尔圆

（据W.D.Means，1976）

单轴拉伸 只有一个主应力不为零，且是张应力（图3-9C）。

拉伸压缩 一个主应力是张应力，另一个是压应力（图3-9D）。

纯剪应力 这是一种特殊的拉伸压缩类列，即当σ₁=-σ₂时的特殊状态。此时最大剪应力作用的平面就是纯剪应力平面，在这种平面上的正应力为零，最大剪应力值与主应力值相等（图3-9E）。由这些平面组成的单元体在最大剪应力τ_max的作用下达到完全平衡。

单轴压缩 单轴压缩只有一个主应力不为零，且为压应力（图3-9F）。

一般压缩 两个主应力都是压应力（图3-9G）。这种应力状态在地球中是很普遍的。在三维情形中，这种应力状态称三轴压缩，此时三个主应力都不为零。

静水压缩 所有平面上的应力都是压应力，并且都相等，无剪应力（图2-9H）。在地球中，尤其在深部，这种应力状态是可能的。