关于矩阵可同时对角化

Question

1、举出一个例子，两个矩阵可交换，但是这两个矩阵不可同时对角化；
2、如何证明如果两个矩阵可同时对角化，那么这两个矩阵可交换？
3、主要问题存在于如何证明矩阵可对角化和可同时对角化，遇到一个具体的矩阵怎么计算他是否能够对角化？
谢谢！

Answer 1

1、找一个不可对角化的矩阵和一个单位矩阵，它们能交换但不能同时对角化
2、如果可以同时对角化，那么必然存在矩阵P使得P^-1AP=D1 P^-1BP=D2 其中D1，D2是对角矩阵。
那么 AB=PD1P^-1 PD2P^-1 =PD1D2P^-1=PD2D1P^-1=PD2P^-1PD1P^-1=BA
3、证明矩阵可对角化应该从矩阵的特征值和特征向量判断，这个书上肯定有，仔细去看看。
判断可同时对角化，只需要两个矩阵可交换且它们都可对角化即可。

Answer 2

1. 只要取A为单位阵, B是某个不可对角化矩阵.
2. A, B可同时对角化, 即存在可逆矩阵T使C = T^(-1)AT与D = T^(-1)BT均为对角阵.
作为对角阵, 易见C, D可交换, 即有T^(-1)ABT = CD = DC = T^(-1)BAT.
于是AB = BA.
3. 证明可对角化的基本方向就是证明有一组由特征向量构成的基.
其它如"可分解为特征子空间直和", "代数重数 = 几何重数", "最小多项式无重根"的条件都由此衍生.
需要逐渐积累, 并根据题目条件选用合适的判别准则.
对于具体的矩阵, 验证"代数重数 = 几何重数"是比较常用的方法.本回答被提问者和网友采纳

Answer 3