计算二重积分

Question

设D={(x,y)|x^2+y2≤√2,x≥0,y≥0},[1+x^2+y^2]表示不超过1+x^2+y^2的最大整数,计算二重积分∫∫xy[1+x^2+y^2]dxdy

Answer 1

二重积分的计算方法

Answer 2

化为二次积分。

∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

扩展资料：

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积

参考资料来源：百度百科-二重积分

Answer 3

按图中方法分成两个区域，并用极坐标化简计算。经济数学团队帮你解答，请及时评价。谢谢！

追问

额，你好像做错了答案是7/8

追答

你看看你的题目抄错了吗？如果x^2+y2≤√2中的√2改成2，才是你说的答案。

追问

好的，另外我想在问一下[1+x^2+y^2]=1,[1+x^2+y^2]=2怎么算出来的

追答

在D1内1<1+x^2+y^2<2,所以[1+x^2+y^2]=1，同样在D2内2<1+x^2+y^2<3所以[1+x^2+y^2]=2

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Answer 4