图中画箭头的地方，这里的2^(-1)对应(Yn+1)-Yn，但是上面的式子是2^(-n)对应(Yn+1)-Yn，这该怎么理解呢？

Question

画箭头的递推式中系数2^(-1)是从Y1到Yn+1递减的，但上面画波浪线的式子系数2^(-1)...2^(-n)是递增的，为什么会这样呢？

Answer 1

将Zₙ一层层往回代入，即可得原始式子。
为简化说明，下面的[Zₙ]表示[Zₙ]补，[X]表示[X]补
[Zₙ]=2⁻¹{[Zₙ₋₁]+(Y₂-Y₁)[X]} （代入[Zₙ₋₁]）
=2⁻²{[Zₙ₋₂]+(Y₃-Y₂)[X]}+2⁻¹(Y₂-Y₁)[X]（代入[Zₙ₋₂]）
=2⁻³{[Zₙ₋₃]+(Y₄-Y₃)[X]}+2⁻²(Y₃-Y₂)[X]+2⁻¹(Y₂-Y₁)[X]
...
=2⁻ⁿ{[Z₀]+(Yₙ₊₁-Yₙ)[X]}+2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾(Yₙ-Yₙ₋₁)[X]+...+2⁻²(Y₃-Y₂)[X]+2⁻¹(Y₂-Y₁)[X]
最后代入[Z₀]=0，得
[Zₙ]=[X]×{(Y₂-Y₁)2⁻¹+(Y₃-Y₂)2⁻²+...+(Yₙ₊₁-Yₙ)2⁻ⁿ}
因此：[X×Y]=[Zₙ]+(Y₁-Yₛ)[X]