初三数学题求大神解答

Question

在平面直角坐标系XOY中，一次函数y=kx+k的图像与X轴交于点A，二次函数y=ax²+bx+c(a>0)的图像经过O，A两点。
(1)当-3≤X≤1时，二次函数y=ax²+bx+c的最大值为2，求这个二次函数的解析式。
(2)设二次函数的图像顶点为D，一次函数的图像与Y轴交于点B，若四边形ABOD为直角梯形，求k与a的值。
(3)对二次函数y=ax²+bx+c(a>0),当x=1，2，3，.........，n(n为大于1的正整数)时，其对应的函数值y=y1，y2，y3，..........，yn，证明：1/y1+1/y2+1/y3+1/y4+...........+1/yn < 1/a

Answer 1

y=kx+k的图像与X轴交于点A(-1,0),
y=ax²+bx+c(a>0)的图像经过O，A两点,
∴c=0,a=b.
(1)当-3≤X≤1时y=ax^2+ax=a(x+1/2)^2-a/4的最大值为6a=2,a=1/3.
∴这个二次函数的解析式是y=(1/3)x^2+x/3.
(2)y=ax^2+ax图像的顶点D为(-1/2,-a/4),一次函数的图像与Y轴交于点B(0,k),
四边形ABOD为直角梯形，画示意图知，∠ADO=90°，-a/4=-1/2,a=2.
AB∥DO,
∴OB=OA=1，k=1.
(3)yn=an^2+an=a*n(n+1),
∴1/yn=(1/a)[1/n-1/(n+1)],
∴y1+y2+y3+……+1/yn
=(1/a)[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/(n+1)]
=(1/a)[1-1/(n+1)]
<1/a.

Answer 2

(1)、y=kx+k 与X轴交点为（-1,0） y=ax^2+bx+c 过（0，0） (-1,0)
c=0 a=b y=ax^2+ax 对称轴为-1/2
a>0 所以y max=y(-3)=6a a<0 ymax=y(-1/2)=-a/24
(2)B(0,y) BD与DA不会垂直 只有AD垂直DO
DO的直线方程为y=1/2x AD直线方程为y=-a/2 x+a/2
要使得两直线垂直 a=4 k=2 a=-4 k=-2
(3)y=ax^2+ax
1/y1+1/y2+……+1/yn=1/a(1/(1+2)1 +1/(1+2)2+……+1/n(n+1))
=1/a[1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)]=1/a (1-1/n+1)<1/a
不等式得证