如何用定积分求旋转体体积

Question

如题所述

Answer 1

以下是用定积分求旋转体体积：

套筒法，顾名思义，就是将图形绕Y轴旋转所得的形状像套筒一样，所以起名叫做套筒法，那么应该怎么使用，公式又是什么呢?先不要着急，我们来看看一个案例，然后思考公式，这样更能容易理解和记住。

比如上面函数f(x)，取微元[x,x+dx]∈[a,b]绕Y轴旋转，把它看作是宽度为dx,高度为f(x)的小薄片绕Y轴旋转就形成了像戒指一样的环形圈，这个环形圈的宽度是dx,高度为f(x)，而周长就是2Πx，把它展开就形成了下面的长方体

圆盘法，也是一样只不过不是绕Y轴旋转，而是绕X轴旋转，更像是车轮。那么我们不如就用轮胎举例，看下面的函数，取[x,x+dx]∈[a,b]绕X轴旋转，把微元部分想象成一个轮胎，轮胎的宽度为dx,半径为f(x)，所以这个轮胎的微元体积就是下面公式的积分上下限后面的部分

每一个微元都是吸管的体积，只要对整个区域D进行积分就是旋转某个轴的旋转体体积，而且二重积分就算是y=x这样不是水平或者垂直的旋转体体积都能计算，下面是其公式。