过直线 上的动点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．⑴若切线 的斜率分别为 ，求证： 为定值；

Question

过直线 上的动点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．⑴若切线 的斜率分别为 ，求证： 为定值；⑵求证：直线 恒过定点．

Answer 1

⑴ 为定值．⑵直线 恒过定点 ．

本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系的运用以及直线方程的求解的综合运用。 （1）不妨设 ， ．利用导数的几何意义，得到直线的斜率，运用斜率关系式证明结论。 （2）证明直线恒过定点，关键是求解直线方程，直线 的方程为 即 ，由于 ，所以直线方程化为 ， 所以，直线 恒过定点 ⑴不妨设 ， ． 由 ，当 时， ， ，所以 ．同理 ．……2分 由 ，得 ．同理 ． 所以， 是方程 的两个实数根，所以 ， 所以 为定值．…………………………………………………………5分 ⑵直线 的方程为 ．………………………………………7分 即 ， 即 ，由于 ，所以直线方程化为 ， 所以，直线 恒过定点 ．……………………………………………………10分