中考数学动点问题

Question

如题所述

Answer 1

动点问题是近年来中考的一个热点问题，解决这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解决。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量。然后，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。最后，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
一、例题：
如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD。一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD。
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积。
解题思路：
（1）问比较简单，就是一个静态问题。当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=√3。∴ SΔAPE=1/2 * AP * AE * sin∠A = 1/2 * 2 * 1 * √3/2 = √3 cm²。
（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论。P点从A→B→C一共用了12秒，走了12 cm，Q点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范围是0≤t≤10。不变量：P、Q点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为t+2。
① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=t，QF=2t，AP=t+2，AG=1，PG=t。∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，其面积为（PG + QF）×AG÷2 = (t + 2t)×1÷2 = 3t/2。
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动。设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=t，DF=4-t，QF=2t，AP=t+2，BP=t-6，CP=12-（t+2）=10-t，PG=t，而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=1/2 × (PG + QF) × BD = 1/2 × (3t + 2t) × 4 = 6t。
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动。设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则AQ=2t-8，CQ=12-（2t-8）=20-2t，（难点）QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=t。∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=1/2 × (PG + QF) × DC = 1/2 × (t + 2t-8) × 4 = 4t-16。
②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为3t/2，当6≤t≤8时，S的最大值为6t，当8≤t≤10时，S的最大值为4t-16。所以当t=8时，S有最大值为24 cm²。
二、练习：
1.如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝4cm，EG＝3cm，且点A、F、C、G在直线 上，△EFG由F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线 按箭头所表示的方向作匀速直线运动。
（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间。
（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm²），求y与x的函数关系式；
（3）在下面的直角坐标系中，画出0≤x≤2时（2）中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P（x，y），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），求∠PAB的度数。
2.已知，如图，在直角梯形COAB中，CB‖OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒，
（和禅1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值。
（2）动点P从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标。
3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。
4.如图，在 中， ， ， 厘米，质点P从A点出发沿线路 作匀速运动，质点Q从AC的中点D同时出发沿线路 作匀速运动逐步靠近质点P，设两质点P、Q的速度分别为1厘米/秒、 厘米/秒（ ），它们在 秒后于BC边上的某一点E相遇。
（1）求出AC与BC的长度；
（2）试问两质点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？
（3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出 与 的值；
5.在三角形ABC中, 。现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动；动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是 /秒，点Q的速度是 /秒，它们同时出发，求:
（1）几秒钟后，ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半?
（2）在第(1)问的前提下，P,Q两点之间的距离是多少?
6.如图，已知直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以 cm/s的速度向点A运动，如果⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts
（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；
（2）在0s<t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切？
7.如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC‖OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x²－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△