第七题第一小问，线代求正交相似变换矩阵。求详细解题过程

Question

如题所述

Answer 1

7 (1). |λE-A| =
| λ-2 2 0|
| 2 λ-1 2|
| 0 2 λ|
= λ(λ-2)(λ-1) - 4(λ -2) - 4λ
= λ(λ-2)(λ-1) - 8(λ -1)
= (λ-1)(λ+2)(λ-4)
特征值 λ = - 2， 1, 4.
对于特征值 λ = -2，λE-A =
|-4 2 0|
| 2 -3 2|
| 0 2 -2|
初等行变换为
|-2 1 0|
| 0 -2 2|
| 0 2 -2|
初等行变换为
|-2 0 1|
| 0 -1 1|
| 0 0 0|
得特征向量 (1, 2, 2)^T，
单位化是(1/3, 2/3, 2/3)^T;
对于特征值 λ = 1，λE-A =
|-1 2 0|
| 2 0 2|
| 0 2 1|
初等行变换为
| 1 -2 0|
| 0 4 2|
| 0 2 1|
初等行变换为
| 1 0 1|
| 0 2 1|
| 0 0 0|
得特征向量 (2, 1, -2)^T，
单位化是(2/3, 1/3, -2/3)^T;
对于特征值 λ = 4，λE-A =
| 2 2 0|
| 2 3 2|
| 0 2 4|
初等行变换为
| 1 1 0|
| 0 1 2|
| 0 2 4|
初等行变换为
| 1 0 -2|
| 0 1 2|
| 0 0 0|
得特征向量 (2, -2, 1)^T，
单位化是(2/3, -2/3, 1/3)^T;
则正交矩阵 P =
[1/3 2/3 2/3]
[2/3 1/3 -2/3]
[2/3 -2/3 1/3]
使得 P^(-1)AP = P^TAP = diag(-2, 1, 4).追问

请问最后一步对角化是怎么算呢，我例题之类的也都是一步到位，是不是有什么简便算法