A是反对称矩阵，A+E 一定可逆吗

Question

如题所述

Answer 1

是的，A+E一定可逆。用反证法证明：若A+E不可逆，则存在非零向量x使得(A+E)x=0，从而(x^T)(A+E)x=0，但是由于A反对称，(x^T)Ax=0，所以(x^T)(A+E)x=(x^T)Ax+(x^T)Ex=0+(x^T)x>0，矛盾。

Answer 2

假设a+e不可逆，则|a+e|=0
所以-1是a的一个特征值
设ξ是属于-1的一个特征向量
则a^2ξ
=
a(-ξ)
=
-aξ
=
ξ
但a^2=a
所以a^2ξ
=
aξ
=
-ξ
矛盾