高数求证数列收敛和极限问题

Question

如题所述

Answer 1

易知 "an+1" = 根号(a+ “an")
下面证明数列是递增的：
只要证明：根号(a+ “an") > “an" 即：an平方 -an - a <0
求根得 1/2(√(1+an) +1)
当an< 1/2(√(1+an) +1) 时，显然 an^2 -an - a < 0
从而 "an+1" > an

然后证明其有界：
当an< 1/2(√(1+an) +1)时，
"an+1" = 根号(a+ “an") <根号(a+ 1/2(√(1+an) +1)) =1/2(√(1+an) +1)
所以 an有上界1/2(√(1+an) +1)
根据单调有界定理知，an收敛。
设极限为A
对"an+1" = 根号（a+ “an") 两边取n趋于无穷
得 A= 根号(a+A)
解得A=1/2(√(1+an) +1)本回答被提问者和网友采纳

Answer 2

数学归纳法。
之后设极限为A带入就行了。