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设λ是正交矩阵A的特征值
如何求出一个实对称
矩阵的特征值
和特征向量?
答:
实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量
是正交
的。实对称
矩阵A的特征值
都是实数,特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若
λ
0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。
线性代数
设A为正交
阵,且detA=-1.证明-1是
A的特征值
答:
A正交
,则
A的特征值
的模是1又detA=-1=所有特征值的乘积,共轭复特征值成对出现所以必有特征值是-1。方阵A
为正交
阵的充分必要条件是A的行向量或列向量是标准正交向量。
正交矩阵
不一定是实矩阵。实正交矩阵(即该正交矩阵中所有元都是实数)可以看做是一种特殊的酉矩阵,但也存在一种复正交矩阵,...
特征
向量什么时候需要单位化
答:
2、在二次型化为标准形的题目里,如果要求求
正交
变换,则求得的二次型矩阵A的特征向量要先正交化(如果A有重特征值),再单位化,然后才可以写出正交变换的。一个
矩阵A的特征值
可以通过求解方程pA(
λ
) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵,则pA为n次多项式,因而A最多有n个特征值。反过来,代数...
对一个实对称
矩阵
,已知两个
特征值
及对应
的特征
向量,如何求第三个特征...
答:
实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量
是正交
的。实对称
矩阵A的特征值
都是实数,特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若
λ
0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。
为什么正定的
正交矩阵
一定是单位矩阵?
答:
我们知道,对于一个实对称矩阵,其特征值都是实数。因此,
A的特征值
都是正数。由于A
是正交矩阵
,所以A的特征值都是1。这意味着A是一个对角线上元素为1的矩阵。由于A的所有主子式都大于0,所以除了对角线上的元素之外,其他元素都是0。因此,A是一个对角线上元素为1、其他元素为0的矩阵。综上所述...
设A为正交
阵,且|A|=-1,证明K=-1是
A的特征值
答:
正交矩阵的性质是Ax的模和x的模相等,即|Ax|=|x|(这是因为|Ax|^2=(A*x)'*(A*x)=x'*A'*A*x=x'*(A'*A)*x=x'*I*x=x'*x=|x|^2)。由Ax=lamda*x,两边取模|x|=|lamda|*|x|,因为|x|非零,因此可以推出|lamda|=1,即
正交矩阵的特征值
的模是1(包括复数的模)。这...
设A
= 1 2 2 2 1 2 2 2 1 求
正交矩阵
P,使PTAP成为对角形。在线等,急求助...
答:
设A的特征值为λ
则|A-λE|= 1-λ 2 2 2 1-λ 2 2 2 1-λ 第1行减去第2行 = -1-λ 1+λ 0 2 1-λ 2 2 2 1-λ 第2列加上第1列 = -1-λ 0 0 2 3-λ 2 2 4 1-λ 按第1行展开 =(-1-λ)(λ²-4λ-5)=...
设三阶是对称
矩阵A的特征值λ
1=6 λ2=λ3=3,ξ1=(1,1,1)的转置是属于...
答:
对称
矩阵
中,不同
的特征值
对应的特征向量
正交
。故3对应的特征向量构成的空间为(1,1,1)x=0的解空间。取其一个基础解系(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T 联合(1,1,1)^T,三个向量规范正交化,后得到向量p1,p2,p3,记P=(p1,p2,p3),记B= 6 0 0 0 3 0 0 0 3 那么P^TAP=B 于是A=...
实对称
矩阵
同一个
特征值
不同
的特征
向量什么时候
正交
答:
这不是说相同
特征值
的不同的特征向量一定相互正交,而是说对于相同特征值也一定存在一组相互
正交的特征
向量。假设对于某个特征值(重根),你求得了它的一组不相互正交的特征向量,那么可以通过正交化把他们变成一组相互正交的特征向量。证明如下:
设λ
1,λ2是两个
A的
不同特征值,α1,α2分别是其...
如果
矩阵A的特征值
各不相同,那么该矩阵A是对称矩阵吗?
答:
我加一个说明,为什么要强调不同
的特征值
。如果
λ是A的
重特征值,且x1和x2都是A关于λ的特征向量且线性无关,那么很明显把{x1,x2}换成{x1,x1+x2}仍然满足条件,但是这两组当中至少有一组是不可能满足
正交
性的。对于
矩阵
的重特征值而言,在其特征子空间的内部是可以取正交基的,但是对外就不行...
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