如果矩阵A的特征值各不相同，那么该矩阵A是对称矩阵吗？

Question

由于我积分不够，我在这里答复一楼“真相弟”：

依我看来，此题并不矛盾，因为我们可以从已知条件推出A为实对称矩阵。从已知的两个具体矩阵可以看出，A是由单位矩阵经过初等变换得到的。变换过程：第一行与第三行交换，第二行乘以一个实数k，再根据A的秩为2，即|A|=0，可知k=0。此时矩阵A就已经唯一确定了。
这是我个人看法，你觉得呢？

经过各路大侠指教，已明白以上看法是错的。

Answer 1

一楼的回答基本上都是对的，我再补充一点分析。

首先，一般来讲讨论特征值的时候都放在代数闭域里，所以如果你想说A是“实对称矩阵”的话不要把实数的条件漏掉，特征值是实的还是复的也要讲清楚，这种习惯要养成。如果你觉得特征值是实的还是复的在复数域内讨论对角化的时候还不算很重要的话，那么复对称矩阵就完全是另外的性质了，跟实对称矩阵没有多少共性。

接下来看前面出现过的各种问题
1. 如果A是n阶实矩阵，且A的n个特征值互不相同，那么A是否是实对称矩阵？
n=1的时候是对的，n>1的时候不一定对，即使另外加一条A的特征值都是实数的条件也不行，比如说A=[1 2; 0 4]，看完2之后回来再想一下你为什么会猜错。

2. 如果A是n阶非对称实矩阵且有n个各不相同的实特征值，它的特征向量是否两两正交？
这个是“肯定不对”，不是“不一定对”。
这时候A一定可以在实数域内对角化，把P^{-1}AP=D写成AP=PD，注意P的每一列都是A的特征向量，而A没有重特征值，所以P的每一列都是唯一确定的（在相差一个非零常数倍的意义下），所以仅仅由P非奇异的条件显然不足以推出P的列互相正交（也就是P^T*P是对角阵）。

反过来，如果P的列两两正交，且A可由P对角化，那么将P的每列单位化之后得到的新的P仍然恰好由A的完全特征向量系组成，此时P^T*P=I，即P是正交阵，这样得到A=PDP^{-1}=PDP^T是实对称阵，和条件里的非对称矛盾。所以非对称矩阵的特征向量一定不可以两两正交。
如果一时间不理解再拿刚才的例子A=[1 2; 0 4]算一下。

如果去掉实特征值的条件，并把正交性放在酉空间里看（注意A的虚特征值对应的特征向量一定也是虚的），结论就变成不一定对。只需要把上面的讨论里的正交阵换成酉阵，可以推出当且仅当A是正规阵的时候其特征向量是两两正交的。
这部分如果不理解可以算一下A=[0 1; -1 0]，这个是正规阵。

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交。
我加一个说明，为什么要强调不同的特征值。
如果λ是A的重特征值，且x1和x2都是A关于λ的特征向量且线性无关，那么很明显把{x1,x2}换成{x1,x1+x2}仍然满足条件，但是这两组当中至少有一组是不可能满足正交性的。
对于矩阵的重特征值而言，在其特征子空间的内部是可以取正交基的，但是对外就不行了。具体地讲，比如λ1是A的两重特征值且有线性无关的特征向量x1,x2，那么x1和x2内部是可以做正交化的，但是对于A的另一个特征值λ2及其特征向量y，span{x1,x2}和span{y}正交与否是固有的（类似于上面关于P的唯一性的分析，特征子空间是唯一确定的），不可以再强行做正交化（很多人都在这里犯错，大多是死背做题方法但不知道原理造成的）。
另外前面的分析也可以用于证明实对称矩阵的谱分解定理，如果把这个定理的证明搞清楚了前面那些简单问题也不应该再有疑问了。

4. 图片里的问题
很明显这个问题是少条件的，条件可以推出x1=[1; 0; -1]和x2=[1; 0; 1]是A的两个线性无关的特征向量，对应的特征值都是1，再用rank(A)=2推出余下的那个特征值是0，对应的特征向量x3和x1、x2都要线性无关，这些条件不足以确定x3，比如可取x3=[0; 1; 1]或x3=[1,1,1]等等等，只要第2个分量非零就行。
注意，上面求第3个特征向量x3的时候利用的是x3不属于span{x1,x2}，而不是x3和span{x1,x2}正交。追问

受教了，受教了，感谢感谢，打这么多字辛苦了，而且分析得很透彻，应该是数学系的吧，否则我相当自卑，呵呵，开个玩笑。不过我还有一些地方不懂，比如A=[0 1; -1 0]，A=[1 2; 0 4]怎么理解，平常没有用过这种方式表达。

追答

[0 1; -1 0]表示矩阵
0 1
-1 0
这个是MATLAB/Octave语法，用分号分隔矩阵的行，用逗号或空格分隔同一行的元素，这主要是在纯文本方式下书写方便，不是数学领域的标准记号。

Answer 2

令A为对角线上的数字均不相同的对角矩阵，则A是一个特征值各不相同的对称矩阵。
因此特征值各不相同与是否为对称矩阵没必然关系追问

对角矩阵也是对称矩阵吧？

追答

當然，對角矩陣的對角線兩側均為0，所以是對稱的

追问

我发现你的回答是矛盾的。
既然没有必然关系，那么能否找到一个矩阵：它的特征值各不相同，但却不是对称阵呢？

追答

可以啊，令A为对角线上的数字均不相同的下三角矩阵，下三角上除了对角线上的数全为1，那么特征值仍为对角线上的数，而此时并不对称

追问

恩，不错，那我再问一下：特征值各不相同的非对称矩阵，它的特征向量是否两两正交？

追答

同样是没有必然联系的，可能两两正交，也可能不两两正交

追问

定理：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交。

我的疑问在于：上述定理中描述的是“不同特征值”，这并不代表“特征值全不相同”，我并猜想在“特征值全不相同”的情况下，对普通方阵来说，是否有“特征向量两两正交”。

图片中的题目 并没有 告诉A是实对称矩阵，那么如何求得特征值等于0时的特征向量？答案利用的是 实对称矩阵 的特征向量两两正交。

追答

题目确实是缺条件的，令A的列向量依次为a=(0,0,1)^T，b=(k,0,k)^T，c=(1,0,0)^T，A=(a,b,c)
通过验算，对于任意k，A均满足条件，同时对应与λ=0的特征向量为(k,-1,k)^T
所以说A和特征向量都不能确定，而且当k不为0时，A不对称

Answer 3

A的特征值各不相同。说明A的最小多项式就是特征多项式
也就是A相似于对角矩阵
存在正交矩阵P，满足
P^(-1)BP=A，其中B是对角矩阵。
那么A ‘=（P^(-1)BP）’ =（P' BP） ' =P' BP=P^(-1)BP=A

所以A是对称矩阵追问

A相似于对角矩阵B，难道就一定存在正交矩阵Q，使得Q^(-1)AQ=Q^(T)AQ=B吗？

您的回答是利用结论的性质来证明结论，这是不被允许的。
只有实对称矩阵A才存在正交阵Q，使得Q^(-1)AQ=Q^(T)AQ=B。

追答

A的最小多项式是无重根的多项式和A可以对角化这个是等价的。

追问

可以相似对角化，不一定能正交对角化；
可以正交对角化，必定能相似对角化。
只有实对称矩阵才能正交对角化。