反函数如何求导数？

Question

如题所述

Answer 1

反函数的高阶导数的计算方法可以通过反函数的求导法则和复合函数的求导法则进行计算。

一、反函数的求导发则

反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。即如果原函数 y=f(x) 的导数为 f′(x)，那么反函数 x=g(y) 的导数 g′(y) 等于 f′(x)/y′=1/y′。这是因为反函数与原函数的关系是互为逆函数，所以反函数的导数与原函数的导数互为倒数。

对于反函数 y = f(x)，其高阶导数可以表示为：y^(n) = d^n/dx^n f(x) = d/dx [f(x)]^(n-1) × f'(x)；其中，y^(n) 表示 y 的 n 阶导数，f'(x) 表示 f(x) 的一阶导数。

二、复合函数的求导发则

复合函数求导是指：内层函数和外层函数分别求导再相乘即可。

对于复合函数 z = g(u) 和 u = h(x)，其高阶导数可以表示为：z^(n) = d^n/dx^n g(u) = d/dx [g(u)]^(n-1) × g'(u) × h'(x)；其中，z^(n) 表示 z 的 n 阶导数，g'(u) 表示 g(u) 的一阶导数，h'(x) 表示 h(x) 的一阶导数。

反函数的定义和高阶函数的定义

一、反函数的定义

反函数是指：如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x)。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

二、高阶导数的定义

高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数。一阶导数是函数的斜率，二阶导数是函数的曲率，三阶导数是函数的弯曲程度，以此类推。