设关于x的一次函数y=ax+b,y=a'x+b',则称函数y=m(ax+b)+n(a'x+b') (其中m+n=1)为此两个函数的生成函数。

Question

设关于x的一次函数y=ax+b,y=a'x+b',则称函数y=m(ax+b)+n(a'x+b') (其中m+n=1)为此两个函数的生成函数。
1.当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值。
2.若函数y=ax+b与y=a'x+b'的图像的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图像上，并说明理由

Answer 1

解：（1）当x=1时，y=m（x+1）+n（2x），
=m（1+1）+n（2×1）=2m+2n=2（m+n），
∴m+n=1，
∴y=2；
（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上，
设点P的坐标为（a，b），
∵a1×a+b1=b，a2×a+b2=b，
∴当x=a时，y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2），
=m（a1×a+b1）+（a2×a+b2）
=mb+nb=b（m+n）=b，
即点P在此两个函数的生成图象上．

Answer 2

解：（1）当x=1时，y=m（x+1）+n（2x），
=m（1+1）+n（2×1）=2m+2n=2（m+n），
∴m+n=1，
∴y=2；
（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上，
设点P的坐标为（a，b），
∵a1×a+b1=b，a2×a+b2=b，
∴当x=a时，y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2），
=m（a1×a+b1）+（a2×a+b2）
=mb+nb=b（m+n）=b