四(10分)给定求积节点 x0=-15/5 ,x1=0, x2=15/5. 推导在区间 [-1,1？

Question

如题所述

Answer 1

该问题似乎没有给定具体的函数，我假设题目是要求已知求积节点，如何推导在区间[-1,1]上使用这些节点的高斯求积公式的系数和节点权重。
在使用高斯求积公式时，需要用到节点权重和节点位置的信息。高斯求积公式的一般形式为：
∫f(x)dx≈∑i=0nwi∗f(xi)
其中，wi为权重，xi为节点位置，n为节点数。
对于区间[-1,1]，使用高斯-勒让德求积公式，其节点和权重可以通过勒让德多项式的根和系数计算得到。勒让德多项式的根可以通过数值方法求得，而勒让德多项式的系数已经可以通过求解勒让德方程得到。由于勒让德多项式是奇函数，根据对称性，根在0的左右两侧是对称的，即 xi = -xi。
根据高斯-勒让德求积公式的节点和权重计算公式，我们可以知道，当使用3个节点（n=2）进行高斯求积时，节点和权重如下：
x0 = -sqrt(3)/3, w0 = 1/3
x1 = 0, w1 = 4/3
x2 = sqrt(3)/3, w2 = 1/3
将x0 = -15/5，x1 = 0，x2 = 15/5代入上述公式，可以得到：
x0=-1/√3，x1=0，x2=1/√3
w0=w2=1/2，w1=1
因此，在区间[-1,1]上使用给定的求积节点 x0=-15/5，x1=0，x2=15/5 的高斯求积公式的系数和节点权重为：
x0=-1/√3，x1=0，x2=1/√3
w0=w2=1/2，w1=1
注意，我将题目中给出的求积节点“-15/5”写为“-3”，因为我假设它是一个整数而非一个有理数。