A为可逆矩阵，所以B=A^T A是正定矩阵？为什么呢

Question

A为可逆矩阵，所以B=A^T A是正定矩阵？为什么呢如题，要求B是否正定，答案得出A可逆后就证明了。为什么

另外，（Aa）^T Aa =||Aa||^2 为什么可以等于呢？
a是Ax=0的一个解，并且AX=0只有零解

Answer 1

n阶矩阵A正定，则存在n个正特征值λi，那么A对角化后，存在正交矩阵P，使得
P^TAP=diag(λ1,λ2,...,λn)
即
A=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P^T
=P（diag(√λ1,√λ2,...,√λn)）^2 P^T
=Pdiag(√λ1,√λ2,...,√λn)（Pdiag(√λ1,√λ2,...,√λn)）^T
令C=Pdiag(√λ1,√λ2,...,√λn)，得到
=C×C^T追问

大神，那个求出A可逆，加上条件B=A^T A和B是实对称就得到B正定，怎么来的呢？

B=A^T * A，B是实对称的。

Answer 2

扬子胥习题集上有原题追问

可我没有那本事呀

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