椭圆双曲线中焦点三角形的面积公式大致推导过程

Question

如题所述

Answer 1

1、椭圆面积：
设椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1,
F1、F2分别是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，PF1和PF2夹角为θ，
在△PF1F2中，根据余弦定理，
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ
|PF1|+|PF2|=2a,
|F1F2}=2c,
4c^2=(PF1+PF2)^2-2|PF1||PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ
4c^2=4a^2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),
|PF1||PF2|=2(a^2-c^2)/(1+cosθ)
=2b^2/(1+cosθ),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ
=b^2sinθ/(1+cosθ)
=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(cosθ/2)^2]
=b^2tan(θ/2).
∴S△PF1F2=b^2tan(θ/2).
2、双曲线面积：
设双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
F1、F2分别是双曲线的左右焦点，P是双曲线上任意一点，PF1和PF2夹角为θ，
在△PF1F2中，根据余弦定理，
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ，
||PF1|-|PF2||=2a,
|F1F2}=2c,
4c^2=(PF1-PF2)^2+2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ,
4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-cosθ)
|PF1|*|PF2|(1-cosθ)=2(c^2-a^2)=2b^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2/(1-cosθ),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ
=b^2sinθ/(1-cosθ)
=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(sinθ/2)^2]
=b^2*cos(θ/2)/[sin(θ/2)]
=b^2cot(θ/2).

cos

θθθθ

Answer 2

椭圆：对于焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.............(正弦定理的三角形面积公式)
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)
双曲线：
设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上，由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中，由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)

=b^2cot(α/2)

Answer 3