如图，在平行四边形ABCD中EF平行于BD分别交BC,CD于点P,Q交AB,AD的延长线于E,F，已知BE=BP

Question

求证：（1）角E=角F (2)平行四边形ABCD是菱形

Answer 1

(1)证明:BE=BP,则∠E=∠BPE;
BC平行AD,则∠BPE=∠F.
故∠E=∠F.
(2)证明:∠E=∠F(已证),则AE=AF;
又DE平行EF,则梯形BDFE为等腰梯形,BE=DF.
故AE-BE=AF-DF,即AB=AD.
所以,平行四边形ABCD是菱形.

Answer 2

　　分析：（1）四边形ABCD是平行四边形，则BC∥AF，可得同位角∠BPE=∠F；在等腰△BEP中，∠E=∠BPE，等量代换后即可证得所求的结论；（2）由EF∥BD，可得同位角∠ABD=∠E，∠ADB=∠F；由（1）知∠E=∠F，等量代换后可证得∠ABD=∠ADB，即AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABCD是菱形．
　　证明：（1）在▱ABCD中，BC∥AF， （注：∠BPE为∠1，∠ABD为∠2，∠ADB为∠3）
　　∴∠1=∠F，
　　∵BE=BP，
　　∴∠E=∠1，
　　∴∠E=∠F；

　　（2）∵BD∥EF，
　　∴∠2=∠E，∠3=∠F，
　　∵∠E=∠F，
　　∴∠2=∠3，
　　∴AB=AD，
　　∴▱ABCD是菱形．
　　点评：此题主要考查了平行四边形的性质及菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

Answer 3

证明：∵BP = BE
∴ ∠E = ∠BPE
∵在平行四边形ABCD中，BC//AD AB//CD
∴∠BPE = ∠F
∴∠E = ∠F

∵BD//EF
∴∠E = ∠ABD ∠F = ∠ADB
∴∠ABD = ∠ADB
∴ AB = AD
故：平行四边形ABCD是菱形

Answer 4

1.因为 BP//AF
所以 角BPE=角F
因为 BE=BP
所以 角E=角BPE=角F

Answer 5

∵EB=EP，
∵∠E＝∠P，BC∥AD
∴∠P＝∠F
∴∠E＝∠F

∵EF∥BD，EB=EP
∴∠P＝∠E＝∠PBD=∠ADB=∠CBD=∠CDB
∴△BEP∽△ABD≌△CBD
∴AB＝AD＝BC＝DC，□ABCD是菱形