已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x-1）2+

Question

已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x-1）²+k（a＞0）经过其中的三个点．
（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上；
（2）点A在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上吗？为什么？
（3）求a和k的值．

Answer 1

（1）对称轴为x=1，所以C（-1，2）、E（4，2）两点到轴的横向距离分别为2和3，故两个点不是对称点，所以不可能同时在抛物线上。
（2）点A若在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上，那么它就是顶点，那么k=o，a为任意数字，这与抛物线是确定的矛盾，故点A不在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上。
（3）由B（0，-1）、D（2，-1）关于直线x=1对称可知，抛物线过B（0，-1）和D（2，-1），若过点C（-1，2），那么可代人数值计算得到a=1,k=-2；若过点E（4，2），则求得a=3/8,
k=-11/8。

Answer 2

（1）对称轴为x=1，所以C（-1，2）、E（4，2）两点到轴的横向距离分别为2和3，故两个点不是对称点，所以不可能同时在抛物线上。
（2）点A若在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上，那么它就是顶点，那么k=o，a为任意数字，这与抛物线是确定的矛盾，故点A不在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上。

Answer 3

.假设C.E同时在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上
a（-1-1）2+k=2，a（4-1）2+k=2
4a+K=2.9a+k=2
a=0。k=2
当a=0时，即y=2是一条直线。
所以可以得出C.E不可能同时在抛物线上
2.假设A在抛物线上。
a（1-1）2+k=0
所以K=0
因为抛物线经过5个点中的三个点。
将B，C，D，E代入
得出a的值分别为a=-1.a=-1/2.a=-1.a=2/9
所以抛物线经过的点是B,D
又因为a＞0
与a=-1矛盾，所以假设不成立。
所以A不在抛物线上
3.由1，2题可知，抛物线经过三个点的情况有两种
①经过B,D,E
a（0-1）2+k=-1
a（2-1）2+k=-1
a（4-1）2+k=2
∴a=3/8.k=-11/8
②经过B.C.D
a（0-1）2+k=-1
a（-1-1）2+k=2
a（2-1）2+k=-1
∴a=1.k=-2
综上所述a=3/8.k=-11/8和a=1.k=-2

Answer 4

（1）
∵y=a（x-1）2+k的对称轴为x=1
∴C（-1，2）、E（4，2）不关于直线x=1对称
∴不可能同时在抛物线上
（2）
假设A在抛物线上
则带入A（1,0）
得a（x-1）2=0
又∵抛物线y=a（x-1）2+k（解释：因为这是抛物线，抛物线即y=ax2+bx+c或y=a（x-h）2+k。
假设A在抛物线上时去，代入求出的抛物线不符合定理当（代入得a（x-1）2=0）。所以这就不是抛物线了。所以，A不在抛物线上。）（这种题目N年前做过，具体的格式记不清楚了）
∴不在
（3）
由题（1）（2）可知
A不在抛物线上，C、E不同时在抛物线上
则当C在抛物线上时
带入可得a=1，k=-2
当E在抛物线上时
带入可得a=3/8
k=11/8
参考资料：1楼回答，我稍微整理了下