求极限 为什么可以这样做 有高分

Question

为什么两个根式可以分别等于一个含有高阶无穷小的代数式阿，求详细解释
有高分

Answer 1

高数重要的等价无穷小代换之一：
（1+x）^a -1 ~ ax →【（1+x）^a ~ 1+ ax】

等价代换，把x提出来，里边的式子就是趋近于1的代数式。
t 趋于0：
√（1+t）=1+t/2
【（1+t）^1/2=1+t/2】
(1+t)^a=1+at+o(t)可以等价(1+t)^a ~ 1+at
这个如果a是整数的话好理解展开。
（1+t）^n=1+nt+ n(n-1)t² /2+……后边就是更高阶的无穷小。
所以（1+t）^n~1+nt
但是这个n可以根据泰勒幂次展开式拓展到非整数或者1/n。
（1+t）^1/n~1+t/n

所以【1+（1/x+1/x²+1/x³）】^1/3 -1 ~ （1/x+1/x²+1/x³）/3

希望对你有帮助O(∩_∩)O~

Answer 2

等价无穷小。