求两向量的外积

Question

公式是|a×b|=|a||b|sin<a,b>，那除了这个公式以外还有什么方法可求向量的外积？
请以a=（3，-1，1） b=（-3，2，4）为例

Answer 1

把向量外积定义为：|a ×b| = |a|·|b|·sin.方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心由a转向b的过程中，大拇指的方向就是外积的方向。
基本信息

定义
把向量外积定义为：
|a × b| = | a|·| b|·sin< a, b>.
方向根据右手法则确定，就是手掌立在 a、 b所在平面的向量 a上，掌心向 b，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。
运算
向量外积的代数运算形式为：
| e(i) e(j) e(k)|
a× b=| x(a) y(a) z(a) |
| x(b) y(b) z(b) |
这个行列式，按照第一行展开。 e表示标准单位基。
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性：
a× b= - b× a.
这由外积的定义是显然的。
2）内积（即数积、点积）的分配律：
a·（ b+ c）= a· b+ a· c,
（ a+ b）· c= a· c+ b· c.
这由内积的定义 a· b= | a|·| b|·cos< a, b>；，用投影的方法不难得到证明。
3）混合积的性质：
定义（ a× b）· c为向量 a, b, c的混合积，容易证明：
i) （ a× b）· c的绝对值正是以 a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由 a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出：
ii) a·（ b×c） =b·（ c×a） =c·（ a×b）
所以我们可以记 a, b, c的混合积为（ a, b, c）
推理
由i）还可以推出：
iii) （ a, b, c）= （ b, c, a）= （ c, a, b）
还有一条结论：
iv) 若一个向量 a同时垂直于三个不共面矢 a1, a2, a3，则a为零向量或高维空间向量。
下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
设r为空间任意向量，在 r·[ a×（ b + c）]里，交替两次利用3）的ii）、iii）和数积分配律2），就有
r·[ a×（ b+ c）]
= （ r× a）·（ b + c）
= （ r× a）· b + （ r× a）· c
= r·（ a× b）+ r·（ a× c）
= r·（ a× b + a× c）
移项，再利用数积分配律，得
r·[ a×（ b + c）- （ a× b + a× c）] = 0
这说明向量 a×（ b + c）- （ a× b + a× c）垂直于任意一个向量。按3）的iv），这个向量必为零向量，即
a×（ b + c）- （ a× b + a× c）= 0
所以有
a×（ b + c）= a× b + a× c.
证毕。
三向量的外积
a×（ b×c） =（ a·c） b-（ a·b） c。

Answer 2

你的公式只是给出求外积的模的公式，并不是求外积的公式，求外积的公式你只要记住下面的公式就是了.

其中i,j,k是三个单位向量.

行列式按第一行展开就行.

本回答被提问者采纳

Answer 3

外积的结果是一个向量，|a×b|=|a||b|sin<a,b>*v，v表示的是a×b的方向向量
你既然在问这个问题，必然知道v的方向由右手定则判定，但是我们可以计算出来a×b的具体方向（表达式）
这个就是
令向量u=（i，j，k），其中i、j、k分别表示的是x、y、z轴的方向向量，则
a×b=|（u，a，b）^T|
说实话这可以由外积的分配律得到