线性代数矩阵的一道证明题 设齐次线性方程组 a11x1+a12x2+...+a1nxn=0

Question

设齐次线性方程组
a11x1+a12x2+...+a1nxn=0
a21x1+a22x2+...+a2nxn=0
............................
an1x1+an2x2+...+annxn=0
的系数矩阵A=(aij)n*m的秩为n-1,
求证:此方程组的全部解为#=c(Ai1,Ai2,...Ain)T,
其中Aij(1<=j<=n)为元素aij的代数余子式,且至少有一个Aij不＝0
c为任意常数，

Answer 1

A应该是n*n 矩阵

证: 因为 r(A) = n-1.
所以齐次线性方程组AX=0 的基础解系含 n-r(A)=1 个解向量.
所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系.

又因为 r(A) = n-1, 知 |A|=0
所以 AA*=|A|E=0.
所以 A* 的列向量都是 AX=0 的解.
再由已知A中某元素代数余子式不等于0, 不妨设 Aij≠0.
则 (Ai1,Ai2,...,Aij,...,Ain)^T 是AX=0的非零解向量
故 (Ai1,Ai2,......,Ain)^T 是AX=0的一个基础解系
Ax=0的全部解为 c(Ai1,Ai2,...Ain)^T