线性代数，为什么在计算特征值的时候，有的行列式需要化简，有的不需要化简？

Question

比如实对称矩阵A=[1 -2 0]
-2 2 -2
0 -2 3
求正交矩阵Q使blabla为对角矩阵的题。算det（E入-A）的时候怎么化简？

Answer 1

最好利用行列式的性质提出一个含λ的因子
这样便于分解因式得到特征值

|λE-A| =
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3

r1-(1/2)(λ-1) - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3

第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3

-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3

=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).

Answer 2

直接将 入 一起放就去 像一般的行列式一样化简追问

答案的特征值是 -1 2 和5，我怎么也算不出一样的