代数学--模论或同调代数的问题

Question

设 R 是 交换幺环， M,N,P 是R模。徐明曜 抽象代数2的P48上 写有

序列 0 --> N --> M --> P --> 0 是正合列 当且仅当 P 同构于商模 M/N。

“仅当”很容易证明。请问“当”的部分怎么做？
也就是问，当 N 同构于 M 的某个子模，且 P 和 M/N 同构时，如何证明
1） 同态 N --> M 为单
2） 同态 M --> P 为满
3) Im(N-->M) = Ker(M-->P)

?

Answer 1

此题的叙述有点问题。
P 同构于商模 M/N： 此同构应理解为该复形中的映射所诱导的映射 M/N—>P 是同构，并且要求 N—>M 是单同态。
否则是不对的，例如令 P=M，N=0 所有同态均为零同态，则显然不是正合列。