第1个回答 2012-02-24
(1) f(x)=(1/3)x³-1/2(2a-1)x²+[a²-a-f'(a)]x+b
f'(x)=x²-(2a-1)x+a²-a-f'(a)
将x=a代入f'(x),得
f'(a)=a²-(2a-1)a+a²-a-f'(a)=-f'(a)
∴ f'(a)=0
(2)由于f'(a)=0,所以f(x)=(1/3)x³-1/2(2a-1)x²+(a²-a)x+b,f'(x)=x²-(2a-1)x+a²-a=(x-a)(x-a+1)
f'(x)=0时,f(x)取极值,解得x=a或x=a-1
x>a或x<a-1时,f'(x)>0,f(x)单增,a-1<x<a时,f'(x)<0,f(x)单减
当a∈[0,1],则a-1∈[-1,0],由于f(x)在[a-1,a]上单调递减,那么f(x)在[0,a]上单调递减
所以,当x=a时,可取到函数在x∈[0,1]上的最小值为
f(a)=(1/3)a³-1/2(2a-1)a²+(a²-a)a+b=(1/3)a³-(1/2)a²+b
设g(x)=(1/3)x³-(1/2)x²+b,g'(x)=x²-x=x(x-1)
当x∈[0,1] 时,g'(x)≤0,即g(x)在[0,1]单调递减,所以g(x)在[0,1]上的最小值为g(1)=1/3-1/2+b=b - 1/6
f(a)在a∈[0,1]时的最小值为b - 1/6
那么根据题意有b- 1/6 >1
所以b>7/6