证明：
令滑动变阻器接入电路电阻的功率Px为因变量，滑动变阻器接入电路电阻Rx为自变量，则
串联电路的总电阻：R总=R+Rx
滑动变阻器接入电路电阻的两端电压为：Ux=RxU/(Rx+R)
滑动变阻器接入电路电阻的功率：Px=Ux²/Rx=[Rx²U²/(Rx+R)²] × (1/Rx)
即：Px=[Rx/(Rx+R)²] U²=[1/(Rx+2R+R²/Rx)] U² .......................(1)
令Y=Rx+2R+R²/Rx，设Rx=x，R=a，则原式可变为：
y=x+2a+a²/x
=2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x)
=2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x)
=4a+[√x-(a/√x)]²
当√x-(a/√x)=0时，上式取得最小值，即当x=a时，y取得最小值，其最小值为4a。
根据上面所设的关系，即当Rx=R时，Y取得最小值，即最小值Y=4R
而当Y取得最小值时，1/(Rx+2R+R2/Rx) 即可取得最大值，则分析上面（1）式可知，此时Px取得最大值，Px的最大值为：Px=U²/4R
综上所述，当Rx=R时，即滑动变阻器与定值电阻平分电压时，滑动变阻器消耗功率的功率为最大值，其最大值为U²/4R。
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追问当Rx=R时，即滑动变阻器与定值电阻平分电压时，为什么？
追答因为，电路中只有R和Rx两个电阻，根据串联电路分压规律，U/Ux=R/Rx=R/R=1，所以，U=Ux，又因为，U+Ux=U电源，所以，U=Ux=(1/2)U电源。
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来自：求助得到的回答