如何判断矩阵是否满秩?

Question

如题所述

Answer 1

Ax=0只有零解，说明A是列满秩。因为换一个观点来看，Ax可以看做是对A的所有列向量做线性组合得到一个新向量，而组合的系数就是x的各个分量。如果Ax=0只有零解，表明A的列向量线性无关，就是要用A的列向量组合成零向量，组合系数必须都是0。此时A是列满秩矩阵，A的秩等于n（列数）。

其实A如果是列满秩，那么它的行数m一定不会小于列数n。因为矩阵的秩r不会超过行数m和列数n，即r<=min(m,n)。因此已知矩阵A是列满秩，其秩是n，那么它的行数m>=n。所以不用考虑行数的问题。

如果A的行向量线性无关或者x'A=0只有零解，那么A就是行满秩矩阵，此时的列数一定不小于行数。