设该直线方向向量为(l,m,n),因为一直直线的方向即是空间平面的法线,则可以直接写出平面方程lx+my+nz=D,然后带入定点(a,b,c)就可以确定平面方程了。
至于高维空间,这要从一般的平面确定方法来求解了,下面我不做严格推导,就简单通过例子来说明。
首先因该明白要使平面为已知直线的垂面,则面内的任意直线都垂直于已知直线,也就是说他们的方向向量的内积等于零(即点乘积,不是上面说的叉乘积,叉乘积就是外积,如果叉乘积为零的话平面过直线)对于平面A1x1+A2x2+……+AnXn=0,显然原点是方程的解,即是平面上的点。对于异与远点的任意一个点(x1,x2,……xn)其向量坐标也是(x1,x2,……xn),则该向量要和已知直线的方向向量内积为零。设已知直线方向向量为(a1,a2,……,an)则有((a1,a2,……,an),(x1,x2,……xn))=0,即a1x1+a2x2+……+anxn=0。这就是一般性的结论。如果平面不过原点,只要作坐标平移就可以了。
所以可以得到一般性公式:
对于n维空间平面A1x1+A2x2+……+AnXn=0,其法向量为(A1,A2,……An)。相反地,平面法向量为(A1,A2,……An)的空间平面可以写成A1x1+A2x2+……+AnXn=D。
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