一、拉格朗日中值定理求极限公式:
lim[ln(1+tanx)-ln(1+sinx)]/x³ (x→0)
根据拉格朗日中值定理,对每一个在0附近邻域的x,tanx~sinx是一个考虑的区间,设f(x)=ln(1+x),那么有:
ln(1+tanx)-ln(1+sinx)
=f'(ξ)·(tanx-sinx)
f'(ξ)=1/(1+ξ),且ξ在tanx与sinx之间。
我们可以把ξ看成是x的一个函数即ξ(x),那有极限=lim[(tanx-sinx)/(1+ξ(x))]/x³
x→0时,sinx和tanx都→0,所以ξ(x)→0。故=lim(tanx-sinx)/x³,根据洛必达法则就可得出极限为1/2。
例如如下极限的计算举例:
1.计算lim(n→∞)(19n²-14)/(20n⁴+7n-1)
解:观察所求极限特征,可知所求极限的分母此时为2,分子的次数为4,且分子分母没有可约的因子,则当n趋近无穷大时,所求极限等于0。
本题计算方法为分子分母同时除以n⁴,即:
lim(n→∞)(19n²-14)/(20n⁴+7n-1)
=lim(n→∞)(19/n-14/n⁴)/(20+7/n³-1/n⁴),
=0。
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2.计算lim(n→∞)(9n-30n-33)/(19+16n-28n²)
解:思路一:观察所求极限特征,可知所求极限的分子分母的次数相同均为2,且分子分母没有可约的因子,则分子分母同时除以n²,即:
lim(n→∞)(9n²-30n-33)/(19+16n-28n²)
=lim(n→∞)(9-30/n-33/n²)/(19/n+16/n-28),
=(9-0)/(0-28),
=-9/28。
思路二:本题所求极限符合洛必达法则,有:
lim(n→∞)( 9n²-30n-33)/(19+16n-28n²)
=lim(n→∞)(18n-30)/(16-56n),继续使用罗必塔法则,
=lim(n→∞)(18-0)/(0-56),
=-9/28。
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3.求lim(x→0)(16x+9sin7x)/(6x-21sin3x)
解:思路一:本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得,则:
lim(x→0)(16x+9sin7x)/(6x-21sin3x),
=lim(x→0)(16+9sin7x/x)/(6-21sin3x/x),
=lim(x→0)(16+63sin7x/7x)/(6-63sin3x/3x),
=(16+63)/(6-63),
=-79/57。
思路二:使用罗必塔法则计算有:
lim(x→0)(16x+9sin7x)/(6x-21sin3x),
=lim(x→0)(16+9*7cos7x)/(6-21*3cos3x),
=(16+9*7)/(6-21*3),
=-79/57。
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