一、拉格朗日中值定理求极限公式：
lim［ln（1+tanx）-ln（1+sinx）］/x³ （x→0）
根据拉格朗日中值定理，对每一个在0附近邻域的x，tanx~sinx是一个考虑的区间，设f（x）＝ln（1+x），那么有：
ln（1+tanx）-ln（1+sinx）
＝f'（ξ）·（tanx-sinx）
f'（ξ）＝1/（1+ξ），且ξ在tanx与sinx之间。
我们可以把ξ看成是x的一个函数即ξ（x），那有极限＝lim［（tanx-sinx）/（1+ξ（x））］/x³
x→0时，sinx和tanx都→0，所以ξ（x）→0。故＝lim（tanx-sinx）/x³，根据洛必达法则就可得出极限为1/2。
例如如下极限的计算举例：
1.计算lim(n→∞)(19n²-14)/(20n⁴+7n-1)
解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。
本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：
lim(n→∞)(19n²-14)/(20n⁴+7n-1)
=lim(n→∞)(19/n-14/n⁴)/(20+7/n³-1/n⁴),
=0。
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2.计算lim(n→∞)(9n-30n-33)/(19+16n-28n²)
解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：
lim(n→∞)(9n²-30n-33)/(19+16n-28n²)
=lim(n→∞)(9-30/n-33/n²)/(19/n+16/n-28),
=(9-0)/(0-28),
=-9/28。
思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：
lim(n→∞)( 9n²-30n-33)/(19+16n-28n²)
=lim(n→∞)(18n-30)/(16-56n)，继续使用罗必塔法则，
=lim(n→∞)(18-0)/(0-56)，
=-9/28。
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3.求lim(x→0)(16x+9sin7x)/(6x-21sin3x)
解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：
lim(x→0)(16x+9sin7x)/(6x-21sin3x)，
=lim(x→0)(16+9sin7x/x)/(6-21sin3x/x)，
=lim(x→0)(16+63sin7x/7x)/(6-63sin3x/3x)，
=(16+63)/(6-63)，
=-79/57。
思路二：使用罗必塔法则计算有：
lim(x→0)(16x+9sin7x)/(6x-21sin3x)，
=lim(x→0)(16+9*7cos7x)/(6-21*3cos3x)，
=(16+9*7)/(6-21*3)，
=-79/57。
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