点M(x0,y0)是圆锥曲线上的点,对于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1切于点M处的切线方程为x0x

Question

点M(x0,y0)是圆锥曲线上的点，对于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1切于点M处的切线方程为x0x/a^2+y0y/b^2=1,则抛物线y^2=2px切于点M(x0,y0)处的切线方程为？

Answer 1

抛物线y^2=2px切于点M(x0,y0)处的切线方程为yoy=p(x+xo).
过程:
对 Y²=2PX两边求导 2yy'=2p ∴ y‘=p/y
∴抛物线在点p处切线的斜率为p/y0. 切线方程为 y-y0=p/y0 *(x-x0) 即y0y-y0²＝px-px0
又因为Y0²=2PX0 ∴yoy-2px0=px-px0 整理得y0y=p(x+x0)

不用导数推理也可以,但要繁多了:
设过点P(x0,y0)的切线斜率为k, 则其方程为 y-y0=k(x-x0)-－－－－①
由y²＝2px 得 x=y²/2p－－－－－－②
②代入①整理得 k/2p y²－y+(y0-kx0)=0
令△＝0得 1－4×k/2p*(y0-kx0)=0 整理得2x0k²－2y0k+p=0－－－－③
∵ P在抛物线上，∴ y0²＝2px0 即x0＝y0²/2p－－－－－－④
④代入③整理得y0²k²－2py0k+p²＝0 即（y0k-p）²＝0
∴ k=p/y0
以下步骤同前法。