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设A为m×n矩阵,证明方程AX=Em有解的充分必要条件为r(A)=m
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推荐答案 推荐于2020-03-07
充分性:当r(A)=m时,则A是行满秩的,A多添任一列向量组成的增光矩阵还是行满秩的,即有r(A ei)=m,其中ei是单位阵的第i列,于是方程Ax=ei有解bi,令X=【b1 b2 ... bm】,则AX=E。
必要性:若AX=E有解,则m=r(Em)=r(AX)<=r(A)<=m,于是r(A)=m
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设A为m×n矩阵,证明方程AX=Em有解的充分必要条件为r(A)=m
?
答:
充分
性:当
r(A)=m
时,则A是行满秩的,A多添任一列向量组成的增光
矩阵
还是行满秩的,即有r(A ei)=m,其中ei是单位阵的第i列,于是方程Ax=ei有解bi,令X=【b1 b2 ...bm】,则AX=E.必要性:若AX=E有解,则m=r(Em)=r(AX),8,
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时,则A是行满秩的,A多添任一列向量组成的增光
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设A为m×n矩阵,证明
:
方程AX=Em有解的充分必要条件为R(A)=m
;
答:
【答案】:证:
条件的充分
性:显然X是一个
n×
m
矩阵,
将Em按列分块为Em=(e1,e2,…, em),将X按列分块为X=(x1,x2,…,xm)当
R(A)=m
时,因为R(A)=R(A, ei)=m(j=1,2…m)故由第4节定理5知Axj=ej(j=1,2,…,
m)
有解,所以
AX=Em有解
。
条件的必要
性,因为AX=Em有解X,所以...
设A为m×n矩阵,证明
:
方程Ax=Em有解的充
要
条件为R(A)=m
.
答:
【答案】:
方程AX=Em有解
R(A)=R(AEm) (定理7) R(A)=m (必要性由不等式m≤R(AEm)=R(A)≤m得到;充分性由不等式m=R(A)≤R(AEm)≤m得到).方程AX=Em有解R(A)=R(A,Em)(定理7)
R(A)=m(必要
性由不等式m≤R(A,Em)=R(A)≤m得到;充分性由不等式m=R(A)≤R(A,Em)≤m...
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要
条件是R(A)=m
答:
证明: 必要性:因为
AX=Em有解
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