设A为m×n矩阵,证明方程AX=Em有解的充分必要条件为r(A)=m

如题所述

充分性:当r(A)=m时,则A是行满秩的,A多添任一列向量组成的增光矩阵还是行满秩的,即有r(A ei)=m,其中ei是单位阵的第i列,于是方程Ax=ei有解bi,令X=【b1 b2 ... bm】,则AX=E。
必要性:若AX=E有解,则m=r(Em)=r(AX)<=r(A)<=m,于是r(A)=m
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