一道数学题！！！如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点. 若P是圆周上异于已知六等分点的动点

Question

如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点.若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连结PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系(说明理由)．

Answer 1

当P在弧BD上时，PB+PD=PF，理由如下：

在PF上取点G，使PG=PB

又∵∠BPF=1/2弧BF=60°

∴△BPG等边

∴∠PBG=60°，BG=BP

又∵∠FBD=1/2弧DF=60°

∴∠FBG=∠DBP

∵弧BF=弧BD

∴BF=BD

∴△BFG≌△BDP（SAS）

∴FG=DP

∴PF=PB+PD

同理，当点P在弧DF上时，PD+PF=PB

当点P在弧FB上时，PB+PF=PD

分圆

凡是用尺规可作的图，都可只用圆规作出（不包括连续点）。此题也不例外。方法如下。

注意：下面的作图只用圆规，不用直尺。并把“以点O为圆心，以AB为直径作圆”简写做“作圆（O，AB）”

设半径为R，十边形边长为a，则a^2=R*(R-a)。解得，a=R*（5^(1/2)-1）/2.

利用六等分圆周的方法可以求得2a，3a，4a……na……。我们可以利用下面的方法求a/n，在圆（O，na）取点A作圆（A，AB=a），交点为B，B1。再作菱形BAB1O1，得AO1=a/n。至此，我们可作一条已知线段的任意有理数倍数。

Answer 2

(2)当P在弧BD上时，PB+PD=PF，理由如下：

在PF上取点G，使PG=PB，

又∵∠BPF=1/2弧BF=60°，

∴△BPG等边，

∴∠PBG=60°，BG=BP，

又∵∠FBD=1/2弧DF=60°，

∴∠FBG=∠DBP，

∵弧BF=弧BD，

∴BF=BD，

∴△BFG≌△BDP（SAS）

∴FG=DP，

∴PF=PB+PD

 

同理，当点P在弧DF上时，PD+PF=PB，

当点P在弧FB上时，PB+PF=PD.

Answer 3

当P在弧BF上时，PB+PF=PD；当P在弧BD上时，PB+PD=PF；当P在弧DF上时，PD+PF=PB。
理由为：以P在弧BF上时为例，其它同理.
延长FP至点Q，使PQ=PB，连接QB、BD.
易得三角形PBQ为等边三角形，再证三角形QBF全等于三角形PBD（ASA或AAS）
所以QF=PD，即PQ+PF=PD，所以PB+PF=PD。
（这里不知怎样画图和打符号，所以证明过程较简单。此题可假设动点分别在A、C、E上，由特殊到一般可看出关系。证明线段的和差关系常用截长法或补短法。）

Answer 4

看情况
理由P是圆周上异于已知六等分点的动点

Answer 5

AD=2AB=2AF=2R本回答被提问者采纳