已知周长求正方形或者长方形的最大面积怎么求

Question

如题所述

Answer 1

已知正方形（或长方形）的周长，设其边长为x，则正方形（或长方形）的周长为4x（或2x + 2y），面积为S = x^2（或xy）。
为了求正方形（或长方形）的最大面积，我们可以将面积S作为自变量，即S = x^2（或xy）表示为周长C = 4x（或2x + 2y）的函数，即C(x) = 4x（或C(x,y) = 2x + 2y）。
然后，我们需要确定函数C(x)（或C(x,y)）的最大值。对于一元函数C(x)，可以通过求导数C'(x) = 4，令其等于0，得到x = C'(x) / 4 = 0的临界点，代入函数C(x)中求出周长的最大值。对于二元函数C(x,y)，同样可以通过求偏导数C_x(x,y) = 2，C_y(x,y) = 2，求出其偏导数同时为0的临界点，并代入函数C(x,y)中求出周长的最大值。最后，将周长的最大值代入面积的公式，即可求得正方形（或长方形）的最大面积。
注意，由于正方形的边长相等，因此在求正方形的最大面积时只需要考虑一元函数C(x)，而不需要考虑二元函数C(x,y)。而对于长方形，由于它的长和宽可以不相等，因此需要考虑二元函数C(x,y)。

Answer 2

周长为L。
① 正方形，
a=L/4面积
=a²
=L²/16
② 长方形，
长=a
L/4<α<L/2……⑴
宽=L/2-a
由⑴，
面积=a(L/2-a)
=aL/2-a²
≤L²/8-L²/16
≤L²/16
由上可知，
最大面积=L²/16

Answer 3

已知周长求正方形面积：
正方形周长=边长x4
边长=周长÷4
正方形面积=边长x边长=（周长÷4）x（周长÷4）
已知周长求长方形最大面积：
长方形周长=（长+宽）x2
长+宽=周长÷2
确定了长度，则：
宽=周长÷2-长
长方形面积=长x宽
长方形长度与宽度越接近，其面积越大，最大的是长度与宽度相等，成为正方形。