过抛物线Y2=2PX(p>0)的焦点，斜率为2根号2的直线交抛物线于AB两点且AB的绝对值为9，求AB的坐标

Question

如题所述

Answer 1

过抛物线Y²=2PX(p>0)的焦点斜率为2√2的直线交抛物线于A、B两点且︱AB︱=9，求A、B的坐标
解：y²=2px的焦点F(p/2，0)，设过焦点的直线方程为y=(2√2)(x-p/2)，代入抛物线方程得：
8(x-p/2)²=2px，展开化简得4x²-5px+p²=(4x-p)(x-p)=0，故得x₁=p/4，x₂=p；相应地
y₁=-(√2)p/2，y₂=(√2)p；
设A的坐标为(p/4，-(√2)p/2)；B的坐标为（p，(√2)p)；
于是︱AB︱=√[(P-P/4)²+((√2)p+(√2)p/2)²]=√(9p²/16+18p²/4)=√(81p²/16)=9p/4=9
故p=4，于是得抛物线方程为y²=8x；A点的坐标为(1，-2√2)，B点的坐标为(4，4√2）。

Answer 2

参数法
解
可设
A(2pa², 2pa)
B(2pb², 2pb), (a≠b)
其一,
由A, F, B三点共线,可得ab=-1/4
其二
由直线AB的斜率为2√2, 可得
a+b=(√2)/4
其三
由|AB|=9可得
[2pa²+(p/2)]+[2pb²+(p/2)]=9
综上可得
ab=-1/4
a+b=(√2)/4
2p(a²+b²)+p=9
解得
p=4
a=(√2)/2,
b=-(√2)/4
(或轮换取值)
∴A(4, 4√2)
B(1, -2√2)
或A(1,-2√2)
B(4,4√2)

Answer 3

解：抛物线y^2=2px (p>0) (1)的焦点F(p/2,0).
过焦点F(p/2,0)的直线l：y=2√2(x-p/2).(2).
联立解(1),(2)式求出直线与抛物线的两个交点：
[(2√2(x-p/2)]^+2=2px.
8(x-p/2)^2=2px
4(x^2-px+p^2/4)=px.
4x^2-4px+p^2-px=0.
4x^2-5px+p^2=0.
x={(5P±√[(-5p)^2-4*4p^2]}/8
=(5p±3p) /8.
x1=(5p+3p)/8=p,
x2=(5p-3p)/8=p/4.
将x1,x2的值代入y=2px式中，求出y1,y2.
y1^2=2p*p=2p^2.
y1=±√2p 【设A(x1,y1)在第Ⅳ象限】
∴y1=-√2p.
y2^2=2p*(p/4).
=p^2/2.
y2=±(√2/2)p 【设B(x2,y2)在第Ⅰ象限】
∴y2=(√2/2)p.
∴得两个含z字母p的交点：A(P,-√2p), B(p/4,√2/2p)
为了求出p值，还要利用|AB|的公式：
|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=9.
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=81.
(p-p/4)^2+(-√2p-√2/2p)^2=81.
化简得：p=±4.∵p>0,
∴p=4
∴A(4，-4√2), B(1,2√2). ----即为所求。