内点、外点、聚点、边界点、孤立点之间的区别和关系

Question

如题所述

Answer 1

1. 内点：属于集合E，且存在一个包含于E的邻域。
2. 外点：不属于集合E，但存在一个包含于E的补集的邻域。
3. 边界点：存在至少一个邻域，其既包含E中的点也包含E外的点。
4. 聚点：所有邻域都包含于E中，即E中存在无穷多个点。
5. 孤立点：属于集合E，但不是聚点，即存在一个只包含该点的邻域。
这些点之间的区别和关系如下：
- 内点是聚点的一种特殊情况，即所有内点都是聚点。
- 聚点可能是内点，也可能是边界点，因为它们的邻域可以包含E中的其他点。
- 孤立点是特殊的边界点，因为它们的邻域只包含它们自己，不与E中的其他点相交。
- 边界点可能是孤立点，也可能是聚点，这取决于它们的邻域与E的交集情况。