线性代数求解题

Question

如题所述

Answer 1

首先，我们来看第一个方程组：
x1 + x2 + x3 + x4 = 16
根据题意可得，我们要找出变量a的值，使得下面这个方程组有解：
x1 + 2x2 + x3 + 2x2 = 2
因为 x2 出现了两次，我们可以将其合并：
x1 + 4x2 + x3 = 2
这是一个三元一次方程组，可以使用初等变换和高斯消元法来求解。因为这里只需要判断是否有解，我们可以通过消元的方式来简化这个方程组：
x1 + 4x2 = 2 - x3
然后代入第一个方程组中，可得：
(2 - x3) + 4x2 + x3 + x4 = 16
化简可得：
4x2 + x4 = 14
因为 x2 和 x4 都是整数，所以我们可以列举出所有符合条件的有序整数对 (x2, x4)，即：(1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)。
当 x2 = 1, x4 = 3 时，有解，此时 x1 = 10 - x3，x2 = 1，x3 为任意整数，x4 = 3。
当 x2 = 2, x4 = 2 时，有解，此时 x1 = 10 - x3，x2 = 2，x3 为任意整数，x4 = 2。
当 x2 = 3, x4 = 1 时，有解，此时 x1 = 10 - x3，x2 = 3，x3 为任意整数，x4 = 1。
当 x2 = 4, x4 = 0 时，有解，此时 x1 = 10 - x3，x2 = 4，x3 为任意整数，x4 = 0。

接下来，我们来看第二个方程组：
2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = a
根据上面的讨论，当符合条件的 (x2, x4) 取值分别为 (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0) 时，方程有解。因此，我们只需要将这些解代入方程中，即可求出对应的 a 值和通解。
当 (x1, x2, x3, x4) = (7, 1, 5, 3) 时，有 2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = 44，因此 a = 44，通解为：
(x1, x2, x3, x4) = (7, 1, 5, 3) + k(-2, 1, 0, 0) + l(0, 0, -1, 1)，其中 k 和 l 为任意整数。
当 (x1, x2, x3, x4) = (6, 2, 4, 2) 时，有 2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = 42，因此 a = 42，通解为：
(x1, x2, x3, x4) = (6, 2, 4, 2) + k(-2, 1, 0, 0) + l(0, 0, -1, 1)，其中 k 和 l 为任意整数。
当 (x1, x2, x3, x4) = (5, 3, 3, 1) 时，有 2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = 38，因此 a = 38，通解为：
(x1, x2, x3, x4) = (5, 3, 3, 1) + k(-2, 1, 0, 0) + l(0, 0, -1, 1)，其中 k 和 l 为任意整数。
当 (x1, x2, x3, x4) = (4, 4, 2, 0) 时，有 2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = 34，因此 a = 34，通解为：
(x1, x2, x3, x4) = (4, 4, 2, 0) + k(-2, 1, 0, 0) + l(0, 0, -1, 1)，其中 k 和 l 为任意整数。

Answer 2

为了找到a的值使得方程组有解，我们需要计算增广矩阵的秩。首先，写出增广矩阵：
[
1 1 1 1 | 1
1 2 1 2 | 2
2 3 2 3 | a
]
然后，我们对矩阵进行高斯消元。首先，用第一行消去第二行和第三行：
[
1 1 1 1 | 1
0 1 0 1 | 1
0 1 0 1 | a-2
]
现在，用第二行消去第三行：
[
1 1 1 1 | 1
0 1 0 1 | 1
0 0 0 0 | a-3
]
为了使方程组有解，我们需要使得最后一行的右侧等于0，即a - 3 = 0。这意味着a = 3。
当a = 3时，方程组有解。现在我们可以求出通解。我们将第二行除以2，得到：
[
1 1 1 1 | 1
0 1 0 1 | 1
]
将第一行减去第二行得到：
[
1 0 1 0 | 0
0 1 0 1 | 1
]
我们得到了如下方程组：
x1 + x3 = 0
x2 + x4 = 1
我们可以用自由变量表示解。令x3 = s和x4 = t，其中s和t是任意实数。那么，
x1 = -s
x2 = 1 - t
通解可以表示为：
x = [
-s
1 - t
s
t
]
其中s和t是任意实数。