设f(0)=1,f(1)=0.3679,f(2)=0.135,f(x)=e-x,求拉格朗日型,牛顿

Question

如题所述

Answer 1

首先根据已知条件可以列出以下三个方程：

$f(0)=1=a_0$

$f(1)=0.3679=a_0+a_1+a_2$

$f(2)=0.135=a_0+2a_1+4a_2$

解这个线性方程组可以得到：

$a_0=1$

$a_1=-0.6321$

$a_2=0.3679$

因此，拉格朗日型二次插值多项式为：

$L_2(x)=1-0.6321x+0.3679x^2$

牛顿型二次插值多项式为：

$N_2(x)=1-0.6321x+0.3679x(x-1)$

然后，我们可以使用二阶 Taylor 公式来估算插值多项式的误差。对 $f(x)=e^{-x}$ 在 $x=0$ 处做二阶泰勒展开，得到：

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2-\frac{f'''(\xi)}{6}x^3$

其中，$\xi$ 是 $0$ 和 $x$ 之间的某个数。因为 $f(x)=e^{-x}$ 的导数和二阶导数均为 $-e^{-x}$，因此：

$f(x)=1-x+\frac{x^2}{2}+e^{-\xi}\frac{x^3}{6}$

将插值多项式带入上式，并将 $e^{-\xi}$ 替换为其最大可能值 $1$，得到：

$L_2(x)=1-0.6321x+0.3679x^2$

$f(x)-L_2(x)=e^{-\xi}\frac{x^3}{6}$

$|f(x)-L_2(x)|\leq \frac{1}{6}x^3$

同样地，对于牛顿型二次插值多项式 $N_2(x)$，可以得到：

$N_2(x)=1-0.6321x+0.3679x(x-1)$

$f(x)-N_2(x)=e^{-\xi}\frac{x^3}{3}$

$|f(x)-N_2(x)|\leq \frac{1}{3}x^3$

因此，比较二阶 Taylor 公式的误差大小，可以发现在 $x$ 较小时，拉格朗日型二次插值多项式的误差较小，而在 $x$ 较大时，牛顿型二次插值多项式的误差较小。