首先将两个bai方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过du消去z,得到:
2-x²=x²+2y²
即
x²+y²=1
所以此曲线位于半径为1的圆柱面上,那么x和y的积分限很容易就找到了:x+y=1
要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²<1.用这个条件,发现2-x²>x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面。
写出体积分:
V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
这里用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限,^(2-x²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=1.)
对z的积分很容易:
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是对xy的两重积分。
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为:
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2π=π
所以体积是π。
扩展资料:
当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积负值。
在空间直角坐标系中,二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知,可以用二重积分的几何意义的来计算。
二重积分和定积分一样不是函数,而是一个数值。因此若一个连续函数f(x,y)内含有二重积分,对它进行二次积分,这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
参考资料来源:百度百科-二重积分