如果你的这个父亲是你的亲生父亲的话，不可以申请断绝关系，你有赡养他的义务，跟什么“在你小学三年级病倒”没有关系，那都是废话。一言以蔽之，法律不允许亲生父母子女“断绝关系”，父母有抚养子女的义务，子女有赡养父母的义务，两者不是等价交换。也就是说，你无法在法律上与父母断绝关系，而且就算他们没有抚养你，你也有义务赡养父母。
——你从哪里听说的什么“申请断绝父子关系”，少看点垃圾电影电视剧吧，学历低就更要多读书，至少生活基本常识要有。我们国家的法律，从来就没有什么“断绝父子关系”，就算你们父子关系再恶劣，无论是什么登报声明还是签订协议，法律上都是无效的。亲生父母子女是自然血亲，权利义务来自于血缘关系。
当然，你可以被别人合法收养，那样就与亲生父母没有法律上的关系了，但是合法收养年龄上限是十四岁，而且你父母又没死，你又不是孤儿，司法实践中一般是不能被收养的。
《民法典》
第五章 收养
第一节 收养关系的成立
第一千零九十三条 下列未成年人，可以被收养：
（一）丧失父母的孤儿；
（二）查找不到生父母的未成年人；
（三）生父母有特殊困难无力抚养的子女。
第一千零九十四条 下列个人、组织可以作送养人：
（一）孤儿的监护人；
（二）儿童福利机构；
（三）有特殊困难无力抚养子女的生父母。
第一千零九十五条 未成年人的父母均不具备完全民事行为能力且可能严重危害该未成年人的，该未成年人的监护人可以将其送养。
第一千零九十六条 监护人送养孤儿的，应当征得有抚养义务的人同意。有抚养义务的人不同意送养、监护人不愿意继续履行监护职责的，应当依照本法第一编的规定另行确定监护人。
第一千零九十七条 生父母送养子女，应当双方共同送养。生父母一方不明或者查找不到的，可以单方送养。
第一千零九十八条 收养人应当同时具备下列条件：
（一）无子女或者只有一名子女；
（二）有抚养、教育和保护被收养人的能力；
（三）未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病；
（四）无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录；
（五）年满三十周岁。
第一千零九十九条 收养三代以内旁系同辈血亲的子女，可以不受本法第一千零九十三条第三项、第一千零九十四条第三项和第一千一百零二条规定的限制。
追答如果你跟你爸爸实在无法相处，可以不见面，支付固定的赡养费。但是什么断绝父子关系，什么不赡养，那是彻头彻尾的法盲言论。
申请断绝关系，你觉得你可以跟谁申请