企业退休职工养老金制度的改革设计模型
摘 要
本文主要研究企业退休职工养老金制度改革的方法和模型，在研究过程中,我们结合概率论与数理统计、最小二乘法、线性回归以及计算机相关的知识，运用MATLAB数学软件，针对退休职工养老金制度改革的实际情况，并且研究了养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率，我们研究的替代率为42.9%，比较接近山东省的养老保险基金收支平衡。
问题一：通过统计资料运用MATLAB做出1996-2010年人口平均工资的散点图；从散点图中可看出数学模型近似为直线y=kx+b，最终决定采用最小二乘法来估计模型中的未知参数k和b,对回归模型做检验、预测、控制运用，并从建立线性回归模型中可以看出， 和F都明显偏大，表明回归直线对样本数据的拟合程度很高，由F分布表查得 (1,13)=4.67,满足关系F> ，说明回归方程的线性回归效果显著，最终整合后的答案为75992.2元。
问题二：通过用MATLAB软件分别算出该企业总收入及企业平均工资，从而算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，即20-24岁职工数至55-59岁职工工资于该企业平均工资之比值分别为：0.669236、0.804927、0.982514、1.066668、1.172806、1.266624、1.208664、1.155042。
如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），根据 = = = 并结合不同情况计算各种情况下的养老金替代率。
问题三：结合已知的数据分别算出2000-2024年社会统筹基金账户后所剩的个人工资、个人缴费、存入银行的计息。得出不同情况下的资金缺口状况。
问题四：融合所有数据，如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，则可分三种情况 。
1.如需接近目标替代率，则需提高“社会统筹”与“个人账户”的缴纳比例。
2.如略微提高“社会统筹”的缴纳比例，则比较接近目标替代率。
3.如降低“社会统筹”与“个人账户”的缴纳比例，则需延长职工退休年龄，而职工享受养老金待遇的时间较短。
关键词：养老金 个人账户养老金 替代率 收支平衡 社会统筹基金
一、 问题的背景与重述
1．1 问题的背景
养老金是用于保障职工退休后的基本生活需要。目前我国养老保险基金是把职工工资总额按20%缴纳到社会统筹基金账户，再按个人工资的8%缴纳到个人账户。退休后，按职工在职期间每月或年的缴费工资与社会平均工资之比，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金，加上个人工资账户中一定比例的资金，作为退休后每个月的养老金。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，利率统一设定为3%。
养老金的发放与职工在职时的诸多因素有关。随着我国经济的迅速发展，预计在本世纪中叶将会达到中等发达国家水平。目前我国养老保险管理的目标是养老保险基金的收支平衡，而影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率，未来目标替代率确定为58.5%。
1．2 问题的重述
问题一：通过对未来30年中国经济发展和工资增长形势的预测和分析，得出可以用最小二乘法来估计模型中的未知参数k和b,对回归模型做检验、预测、控制，并进行假设做出预测从2011年至2035年山东省职工的年平均工资。
问题二：如果要计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，首现需考虑各年龄段职工工资和该企业平均工资，最终确定它们的比值。如果继续把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），通过Excel进行数据整理从而计算出各种情况下的养老金替代率。
问题三：如何通过调配“社会统筹”与“个人账户”的缴纳比例方式使其既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡。
问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。
二、模型假设
2.1 假设在预测期内无战争或自然灾害等引起的大规模伤亡或迁移，中国以切实实现发展方式转型，在环境保护、内需驱动、缩小收入差距以及发挥市场机制主导作用方面取得明显进步，即中国在2013年后经济能够平稳的增长。
2.2 由于1978-1996年政治、经济、文化等因素，假设从1996年开始预测职工平均工资。
2.3 假设2013年之后职工工资的增长率仍延续1996-2010年的增长率。
2.4 假设职工工资总额的福利分红奖励全都体现在个人工资上。
三、符号说明
x: 年份
:平均工资
a: 基础养老金
b: 个人账户养老金
d: 退休前工资
w：职工刚退休时的养老金
：参保人员退休前1年、2年、……、m年全国/省/地市社会平均工资
：参保人员退休前1年、2年、……、m年本人缴费工资额
m:企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限
n：个人账户养老金计发月数
：退休前第i年的缴费指数，i=1,…,m
S：本人指数化月平均缴费工资
：替代率
四、模型的分析与建立
4.1 问题一
未来30年，在正常情况下，假设中国经济增速保持年均8%，美国经济增速为年均2%，日本经济增速年均仍为2%，那么到2040年，中国GDP约为50.31万亿美元，美国约为27.17万亿美元，而日本只有约9.24万亿美元。也就是说，30年后的中国GDP总量至少为美国的1.4倍，日本的5倍，尽管在人均水平上中美日之间仍存在巨大的发展差距，但从国家可推动资源层面讲，中国对美国已具有绝对优势，以此来看，中国在未来的发展前景是一片光明的。
通过对中国未来的分析，我们预测2011-2035年山东省职工的年平均工资模型大致类似人口增长模型，因此，可以用人口增长模型的一些知识进行求解，通过统计资料运用MATLAB做1996-2010年人口平均工资的散点图；
1）在MATLAB运行窗口输入：
x=[1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010]
y=[5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074]
save liu x y
p=polyfit(x,y,1)
plot(x,y,'*')
输出见图4-1
图4-1
经过多次采用不同方法拟合之后和通过图4-1散点图可看出起年平均工资模型近似为直线y=kx+b
2）模型建立求解：
表一 山东省职工历年平均工资统计 单位:（元）
年份
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
平均工资
5809
6241
6854
7656
8772
10007
11374
12567
续表一
年份
2005
2006
2007
2008
2009
2010
平均工资
16614
19228
22844
26404
29688
32074
通过以上数据可知，用最小二乘法来估计模型中的未知参数k和b,可对回归模型做检验、预测、控制。MATLAB统计工具箱中提供了回顾分析的命令，下面运用其建立线性回归模型：
在MATLAB软件运行窗口输入：
p1=num2str(p,6)
x1=linspace(1996,2009,10)
y1=polyval(p,x1)
plot(x,y,'*',x1,y1,'r:',x,y,'b')
load liu %
x
y
x=[ones(15,1),x']
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y',x)
num2str(b,6)
输出：
stats =
0.929171805799834
170.542728242663
7.52893349017286e-009
5895340.25833333
ans =
-3.78017e+006
1894.92
即数学模型 y=1894.92x-3780170
3)模型检验
1.数据解释：
①参数估计 =-3780170， =1894.92
s= =5742180.211
②方程 =-3780170+1894.92x
2. 模型检验结果为 =0.929171805799834, F=170.542728242663,
由此看出， 和F都明显偏大，表明回归直线对样本数据的拟合程度很高，由F分布表查得 (1,13)=4.67,满足关系F> ，说明回归方程的线性回归效果显著。
根据以上数学模型，我们下面预测2011-2035年的山东省职工的年平均工资
运用MATLAB软件计算函数值指令：
>> p=[1894.92 -3780170];x=[2011,2012,2013,2014,2015,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024,2025,2026,2027,2028,2029,2030,2031,2032,2033,2034,2035];
polyval(p,x)
ans =
Columns 1 through 5
30514.1200000001
32409.04
34303.96
36198.8800000004
38093.8000000003
Columns 6 through 10
38093.8000000003
39988.7200000002
41883.6400000001
43778.5600000001
45673.48
Columns 11 through 15
47568.4000000004
49463.3200000003
51358.2400000002
53253.1600000001
55148.0800000001
Columns 16 through 20
57043
58937.9199999999
60832.8400000003
62727.7600000002
64622.6800000002
Columns 21 through 25
66517.6000000001
68412.52
70307.4399999999
72202.3600000003
74097.2800000003
Column 26
75992.2000000002
所以根据以上数据可预测2011-2035年山东省职工的年平均工资如下：
4.2 问题二
根据已有材料数据（附件）进行整理，如果要计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，需通过各种假设关于该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），从退休后一直领取养老金，至75岁死亡，具体年龄段经过整理如下：
通过应用软件分别算出该企业总收入及企业平均工资、从而算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，20-24岁职工数至55-59岁职工工资于该企业平均工资之比分别为：
0.669236、0.804927、0.982514、1.066668、1.172806、1.266624、1.208664、1.155042
并以饼状图显示如下：
如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），从而计算各种情况下的养老金替代率。
替代率： = = =
基础养老金：a=( +S)/2*m*1%
个人账户养老金：b=[( + +...... + )*8%]*[1+ ]/n
职工刚退休时的养老金：w=a+b
结合以上相关数据得：
所以替代率： =
通过应用软件可把各种情况下的养老金替代率 算出，结果如下：
各种情况均以同样的方法得出：（详见附件一）
年龄段（岁）
替代率
30-55
0.420231
30-60
0.548813
30-65
0.64476
40-55
0.257756
40-60
0.36862
40-65
0.429344
4.3 问题三
4.3.1 计算养老保险基金的缺口
假设某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁,60岁，65岁），退休后一直领取养老保险金，至75岁死亡。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。要想计算缺口情况，必须要计算养老保险基金出现的收支之差。
4.3.2 根据题目中的已知条件：
1）该企业职工退休前缴纳的养老金由该企业按职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，职工再按个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户这两部分组成。
2）该企业职工退休时的养老金由两部分组成：
养老金=基础养老金+个人账户养老金
个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数（数据见表一）
基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%
本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数
4.3.3 计算该企业的职工在退休前需要缴纳的养老保险基金。假设该职工55岁退休，75岁死亡，例如2000年平均工资为8772，则缴纳到社会筹基金账户后所剩的个人工资为8772*（1-20%）=7017.600。
① 个人缴费为7017.600*8%=561.41
② 存入银行的计息为561.41* =1141
则按照上述方法可分别算出2000-2024年的社会统筹基金账户后所剩的个人工资、个人缴费、存入银行的计息如下图：
通过软件输入编辑栏（利率统一设定为3%）
可得2025年总共的社会统筹余额为SUM(C2:C26)*20%=160707
个人账户存储余额为SUM(E3:F27)=119376.64
个人账户计息后存储余额为SUM(E3:F27)=119376.64
基础养老金为(C27/12+5236.565)/2*25*1%*12=14748.36
个人账户养老金为$H$28/170*12=8426.59（不变量）
根据以上表格编辑可得2025-2044年（2045年该职工75岁已死亡）的社会统筹余额、个人账户存储余额、个人账户计息后存储余额、基础养老金、个人账户养老金
如下图
1）从退休后一直领取养老金，至75岁死亡，计算养老保险基金的缺口情况。根据题意缺口情况即是亏损情况，2025年后的亏损情况为每一年的社会统筹基金账户余额与个人账户计息后存储余额之和是否大于等于0，若小于0则已亏，反之则未亏。从上图可知2025年至2037年是未亏，而2038年至2044年是已亏。
2）计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。根据表格中所算出的结果绘制下图即可知该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡
从上图可知该职工领取养老金到73岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
3）假设该职工60岁退休，75岁死亡
结合上述方法得下图：
可得亏损情况（缺口情况）是2030年至2040年未亏，2042年至2044年已亏。
其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间是否达到收支平衡，可见下图：
根据图表可知该职工领取养老金到74岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
4）假设该职工65岁退休，75岁死亡
综合上述方法，可得缺口情况与收支平衡的年数 可见下表
可得亏损情况（缺口情况）是2035年至2044年全部为未亏。
其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。可见下图：
根据图表可知该职工领取养老金从退休到死亡全部为未亏，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间不能达到收支平衡。
4.4 问题四
4.4.1 如果既要达到目标替代率58.5%，又要维持养老保险基金收支平衡， 根据我们所建立的模型数据，企业职工工资要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡所面临的问题有以下几种：
各退休年龄段达到目标替代率的情况分析
30-55-75
20%低
8%低
低于目标替代率58.5%
30-60-75
20%低
8%平
接近目标替代率58.5%
30-65-75
20%高
8%高
高于目标58.5%
注：30-55-75即是30岁开始交养老保险金，55岁退休，75随死亡，20%低即是企业把职工工资总额按一定比例20%缴纳到社会统筹基金账户较低，8%低即是职工个人工资按一定比例8%缴纳到个人账户较低，低于目标替代率是指30-55-75时的替代率低于按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率58.5%.
30-60-75系列和30-65-75系列则可参考30-60-75系列。
4.4.2 采取措施分析（1）
30-55-75系列：若要其接近替代率，则需提高20%和8%，且退休年龄要延迟才有可能接近替代率。
30-60-75系列：若要接近替代率，则需略微提高20%，此系列是比较接近替代率
30-65-75系列：若要接近替代率，则需降低20%及8%，且此系列退休年龄偏大，其缴费较多，而享受养老金待遇的时间较短，因此需要延长工作年龄。
年龄段（岁）
替代率
30-55
0.420231
30-60
0.548813
30-65
0.64476
40-55
0.257756
40-60
0.36862
40-65
0.429344
采取措施分析（2）
职工基本养老保险制度改革遇到的三大问题：
1）没有相应的资金与职工基本养老保险账户金对应，职工基本养老保险个人账户只是记入了个人缴费和企业缴费按规定划入个人账户的钱数，而这些钱已用于支付已退休人员的养老金，个人账户实际是虚的。因此做好职工基本养老保险个人账户金保值增值，对于达到目标替代率的目标有一定的作用
2）按照现行个人账户储存额，每年参考银行统计存款利率计算利息的办法保持增值潜在着既无法实现，个人账户金的保持增值已难以保证养老金替代率目标实现的双重风险。
3）中国人口出生率的下降有劳动能力的人口逐步减少，人寿命的延长退休人员越来越多，社会养老保险越来越重，例如问题四中30-55-75系列的替代率较低于目标替代率58.5%，有一部分原因归结于退休年龄越早，而30-65-75系列的替代率超出目标替代率，有一部原因是退休年龄过晚，可见中国老龄化风险对当前生化职工基本保险制度改革，带来严峻挑战。
由于保值增值率与平均工资增长率挂钩，因此要想达到目标替代率我们可采用逆向思维和倒算法，采用替代率公式T=Y/J(1)
等比数列通项A = A (1+K) 等比数数列前n项和公式 =A *(R -1)/R-1
（T为养老金替代率，Y职工退休时的月养老金，J为职工退休时的月工资收入，A 为职工退休时月工资收入相当于其就业时月工资收入的倍数,A 为职工就业时的月工资收入 , K为预期平均工资增长率,N为职工平均劳动年限）
因此，我们先把个人账户金额面数按照大于模型中的社会职工平均工资增长率与个人账户保值增值率的比例来确定保值增值率，实现“虚拟增值”，以此作为职工退休时确定账户养老金的标准，从而是养老金“替代率”达到目标替代率的构想。二是个人账户金则按照国家规定的保值增值办法实现真正意义上的保值增值，从而使养老保险基金提高运营效益。三是国家采取措施，颁布条例，是我国的养老保险金制度趋于完善。
五、模型的评价和改进
上述模型的优点主要体现在：建模过程中结合了我国的现阶段国情和对未来的发展进行预测，应用概率论与数理统计、最小二乘法、线性回规以及计算机相关的知识，通过 MATLAB数学软件，针对退休职工养老金制度改革的实际情况，并且研究了养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率，我们研究的替代率为42.9%，比较接近山东省的养老保险基金收支平衡。
这有助于我们建立模型；在模型的求解中为了更生动形象的阐述问题，针对复杂函数的计算运用MATLAB和Excel软件有效的运算出点的具体位置并计算出最佳结果，使得我们求解的问题得到满意的答案。
本文建立的模型少而且比较简单，因此简明扼要，作为学生接触到养老保险基金方面的知识不多、知识面也有限，影响到我们在建立模型中还存在一些不足，让我们在三天内建立模型并求解，在时间上有些仓促，有些步骤没有更加完善、没有充足时间去深入思考，之后需继续深入研究模型和对数据进行处理，添入更多有关影响养老保险基金的因素，建立更加复杂的模型，使得模型和数据更具可能行，对以后养老保险金的改革提供借鉴。
参考文献
【1】 张珠宝.数学建模於数学实验.北京:高等教育出版社 , 2005
【2】 冯洁等.数学建模原理与案例.北京：科学出版社，2007
【3】 姜启源等. 数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003
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