求不定积分∫（x²＋x+1）lnxdx

Question

如题所述

Answer 1

方法如下，
请作参考：

Answer 2

本题计算过程如下:
∫(x^2+x+1)lnxdⅹ
=∫lnxd(x^3/3+x^2/2+ⅹ)
=lnx*(ⅹ^3/3+x^2/2+ⅹ)-∫(x^3/3+x^2/2+x)dlnx
=lnx*(ⅹ^3/3+x^2/2+ⅹ)-∫(x^3/3+x^2/2+x)/xdx
=lnx*(ⅹ^3/3+x^2/2+ⅹ)-∫(x^2/3+x/2+1)dx
=lnx*(ⅹ^3/3+x^2/2+ⅹ)-(x^3/9+x^2/4+x)+C。
主要用到分部积分法及凑分法。

Answer 3

∫x^n lnx dx
= 1/(n+1)∫lnx dx^(n+1)
=1/(n+1) x^(n+1) lnx - 1/(n+1) ∫x^(n+1) 1/x dx
=1/(n+1) x^(n+1) lnx - 1/(n+1)^2 x^(n+1) +C
然后把n=0, n=1, n=2带入就可以得到了

Answer 4

解决方法：
使用（^ X）'= A ^ X·LNA

∫3^ X·电子^ X DX

=∫（3E）^ X DX
= 1 / LN（3E）·（3E）^ X + C