已知四边形ABCD是圆的内接四边形，AD=CD=4，AB=2,CB=6,求四边形面积(高一的题目，请勿使用超纲解法)

Question

RT,求详解，打得好再加一百分.

Answer 1

方法1：
连接BD，则有四边形ABCD的面积，
S=S△ABD+S△CDB=1/2AB•ADsinA+1/2BC•CDsinC．
∵A+C=180°，∴sinA=sinC．
∴ S=1/2(AB•AD+BC•CD)sinA= 1/2(2×4+6×4)sinA=16sinA．
由余弦定理，在△ABD中，
BD^2=AB^2+AD^2-2AB•ADcosA=2^2+4^2-2×2×4cosA=20-16cosA，
在△CDB中 BD^2=CB^2+CD^2-2CB•CDcosC=6^2+4^2-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
∵cosC=-cosA，
∴64cosA=-32， cosA=-1/2，
∴A=120°，
∴ S=16sin120°=8√3．
故答案为 8√3．

方法2：
还有一个公式
圆内接四边形的面积公式
S圆内接四边形=√[﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚﹙p-d﹚]
[p=1/2﹙a+b+c+d﹚]

这个不算超纲吧？和三角形的海伦公式类似

所以p=（4+4+2+6）/2=8
s=√[﹙8-4﹚﹙8-4﹚﹙8-2﹚﹙8-6﹚]=8√3

Answer 2

根据余弦定理，AC^2=AB^2+BC^2*cosB,(1)
AC^2=AD^2+CD^2-2AD*CD*cosD,(2)
<B+<D=180°，（圆内接四边形对角互补），
cosB=cos(180°-D)=-cosD,
比较（1）和（2）式，
36+4-2*2*6*cosB=16+16+2*4*4*cosB,
56cosB=8,
cosB=1/7,
sinB=√[1-(cosB)^2]=4√3/7，
sinD=sin(180°-B）=sinB
S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=(AB*BC*sinB)/2+(AD*CD*sinD)/2=（1/2）(6*2+4*4)*4√3/7=8√3。

Answer 3

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