高二数学题

Question

已知数列｛an｝的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2(n为正整数)
(1)令bn=2^n*an,求证数列｛bn｝是等差数列，并求数列｛an｝的通项公式；
(2)令cn=（n+1）/n*an,Tn=c1+c2+…+cn试比较Tn与5n/(2n+1)的大小，并予以证明。

Answer 1

解：（1）∵ Sn=－an－(1/2)^(n-1)+2…………①，则S(n+1)=－a(n+1)－(1/2)^n+2…………②
②－①得 a(n+1)=-a(n+1)+an+(1/2)^n，即 2a(n+1)=an+(1/2)^n，两边同乘以2^n得
2^(n+1)*a(n+1)=2^n*an+1 ∵bn=2^n*an，∴b(n+1)=bn+1 即 b(n+1)－bn＝1，∴数列(bn)是等差数列，公差为1，由①得 a1=1/2，∴ b1=1，bn=n，an=n*(1/2)^n
（2）由题意得 cn=(n+1)(1/2)^n ，Tn=2*(1/2)+3*(1/2)^2+4*(1/2)^3+……+(n+1)*(1/2)^n
(1/2)*Tn=2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+4*(1/2)^4+……+n*(1/2)^n+(n+1)*(1/2)^(n+1)，两式相减得
(1/2)*Tn=2*(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n-(n+1)*(1/2)^(n+1)，
=1/2+[1-(1/2)^n]-(n+1)*(1/2)^(n+1)
∴Tn=3-(1/2)^n(n+3)与5n/(2n+1)比较大小，可以验证：当n=1,2时，Tn>5n/(2n+1)
当n>2时，Tn<5n/(2n+1)
作差：Tn-5n/(2n+1)=3-(1/2)^n(n+3)－5n/(2n+1)=1/2－(1/2)^n(n+3)+5/(4n+2)，
当n=1，2时，Tn-5n/(2n+1)<0，当n≥3时，1/2－(1/2)^n(n+3)>0恒成立，又n为正整数，∴ 1/2－(1/2)^n(n+3)+5/(4n+2)>0，即Tn>5n/(2n+1)

Answer 2

1由s1=a1=-a1-(1/2)^(1-1)+2,得a1=1/2
a_{n+1}=s_(n+1)-sn=-a_{n+1}-(1/2)^n+a_n+(1/2)^(n-1),
因此得到2a_{n+1}-a_{n}=(1/2)^n
然后由b_n+1-b_n=2^(n+1)a_{n+1}-2^n*(a_n)=2^n*(2a_{n+1}-a_{n})
=2^n*(1/2)^n=1
因此为等差数列,且b1=2a1=1,bn=n, 因此an=bn/2^n=n/2^n.
(2)由于cn=(n+1)/n*an=(n+1)/2^n,
Tn=(2)/2+(3)/2^2+(4)/2^3+…+(n)/2^(n-1)+(n+1)/2^n
1/2Tn= (2)/2^2+(3)/2^3+(4)/2^4+…(n)/2^n +(n+1)/2^(n+1)
上面两个方程做减法,的1/2Tn=1-(n+1)/2^(n+1)+ 1/2^2+1/2^3+1/2^4+…(n)/2^n
Tn=2-(n+1)/2^(n)+ 1/2+1/2^2+1/2^3+…(n)/2^(n-1)
求得到Tn的值(后面为等比数列),然后即可比较大小哦.这是主要的方法.

Answer 3

我不会